Leonardo ha scritto:
> Il vettore momento angolare classicamente =E8 un vettore assiale e
> quindi non cambia di segno per trasformazioni di parit=E0.
> Quantisticamente, questa cosa =E8 rispettata sicuramente dal momento
> angolare orbitale per la sua definizione analoga alla classica, ma mi
> chiedevo come si dimostra in generale per un momento angolare
> qualsiasi (es. spin)? Non credo inoltre che esiste una dimostrazione
> che discenda in maniera generale dalle regole di commutazione che
> definiscono un momento angolare: [J_i , J_j] =3D i eps_ijk J^k dove
> J_i,j,k sono le componenti del momento angolare e eps_ijk lo
> pseudotensore di levi-civita.
> S=EC, mi chiedevo per=F2 come si dimostra che una terna di operatori
> che obbediscono a quella regola di commutazione costituiscono le
> componenti di un vettore (o pseudo). Ad esempio, non potrei
> considerare una terna di operatori {X_i} che non costituisca un
> vettore, tali che [X_j,X_k]=3Di\epsilon_ijk X_i, e che, sotto
> parit=E0, ottenga P X_i P =3D (-1)^i ? (P =E8 l'operatore di
> parit=E0). Nella Sua dimostrazione si assume che tutte le componenti
> si trasformino allo stesso modo, affinch=E8 la forma quadratica
> rimanga invariata.
La tua domanda e' tutt'altro che banale, e anni fa ci ho dedicato una
certa riflessione.
Detto molto sommariamente, il nocciolo della questione e' che le leggi
di trasformazione per una data operazione di simmetria *sono
arbitrarie*, con l'unico vincolo di rispettare le relazioni fra
diverse osservabili.
Restiamo alla m.q., dove ogni operazione di simmetria sara'
rappresentata da un certo operatore unitario U (l'eccezione
dell'inversione del tempo lasciamola da parte...).
Allora niente ti vieta di definire U in modo che trasformi in modo
diverso le diverse componenti di S (spin), a patto di salvare le
relazioni di commutazione, che *debbono* restare invariate sotto trasf.
unitaria.
Quindi non potresti chiedere
U S_i U+ = -S_i,
perche' le rel. di comm. andrebbero a pallino; ma puoi benissimo
chiedere
U S_1 U+ = S_1,
U S_2 U+ = -S_2
U S_3 U+ = -S_3.
Questa e' una definizione perfettamente lecita per una trasf. di
simmetria; il problema e': che te ne fai?
Le trasf. di simmetria vengono definite di regola in modo che portino
a una *invarianza*, ossia che U commuti con H. Se esistesse qualche
situazione fisica in cui U cosi' definito ha la proprieta' di lasciare
invariante la hamiltoniana del tuo sistema, allora sarebbe utile,
oltre che lecita.
Una discussione piu' apporfondita la trovi in
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/gruppi
ai capitoli 2 e 3.
BTW: a me non piace dire "trasf. di parita'".
La trasf. e' l'inversione spaziale, la parita' e' il numero quantico
(l'autovalore) che distingue gli stati o le osservabili a simmetria
definita.
--
Elio Fabri
Received on Sat Jan 03 2009 - 21:40:04 CET