Re: Problema con radiazione di multipoli

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Mon, 01 Oct 2012 20:40:31 +0200

Tetis ha scritto:
> Z0 cosa indica?
L'impedenza caratteristica del vuoto, 1/(eps0 c) = mu0 c.
Ovvero i famosi 377 ohm :)

> Posso confermare che la media sul periodo � questa che ha scritto.
> Oltre che con il calcolo diretto si trova con l'integrale necessario
> gi� tabulato sul Gradshteyn, formula 3.681.
Grazie della verifica.

> Nel merito della questione non so che dire, non mi � chiaro al
> momento come esplicitare le formule per i termini di multipolo
> radiativo,
> ...
> in particolare le formule esatte (16.91 e 16.92 di Jackson) mi
> sembrano difficili da gestire senza un particolare impegno dedicato
Credo per� di aver fatto un passo avanti, prima d'immergermi nei conti.
Le formule che citi mostrano che che non vanno usati i multipoli
statici, dal momento che figurano integrali con funzioni sferiche di
Bessel, che danno i multipoli statici solo all'ordine pi� basso in
kA=b (beta).
E qui c'� un trabocchetto nel quale sembra sia cascato anche il
Landau ... ma � possibile???

Il termine di dipolo, definito dalla comparsa dell'armonica sferica
Y_{1m}, fa intervenire una j_1(b), che ha termini in b, b^3, e succ.
potenze dispari.
Il termine di quadrupolo (Y_{2m}) porta un j_2 che ha termini in b^2,
b^4, ecc.
Perci� *nel calcolo dei campi*, se ci si ferma al secondo ordine,
intervengono solo i termini in b nel dipolo e in b^2 nel quadrupolo,
ossia i momenti statici.
Ma quando vai a calcolare l'energia irraggiata, che � quadratica nei
campi, � vero che essa sar� la somma del contributo di dipolo, di
quello di quadrupolo, ecc. Ma vediamo gli ordini in b:
- L'energia di dipolo ha un termine in b^2, ma poi anche un termine in
b^4.
- L'energia di quadrupolo comincia col termine in b^4, ecc.
Perci�, anche se non c'� interferenza, succede che in b^2 conta solo
il dipolo, ma in b^4 contano dipolo e quadrupolo, e via peggiornado per
i multipoli superiori.
Conclusione: nel calcolo dell'energia lo sviluppo in multipoli e lo
sviluppo in potenze di b *sono cose diverse*.

Dicevo che ci casca anche Landau, perch� l'eq. (71.5) del vol. 2 dice
proprio l'opposto: scrive l'energia irraggiata fino all'ordine b^4
come somma di contributi dati dai momenti *statici*.
Nota che una formula analoga sul Jackson *non c'�*...

Inutile dire che mi farebbe molto piacere una tua conferma a quanto
sopra.

> Un dubbio ulteriore che non riesco ad accantonare riguarda
> l'interferenza: se � vero che le funzioni armoniche relative a
> termini di multipolo differenti sono ortogonali, tuttavia nel
> calcolare la potenza irradiata da un multipolo puro si suppone di
> trattare un'onda incidente pressoch� monocromatica e delle
> interferenze si tiene conto con il calcolo dei coefficienti di fase,
> che in genere portano per esempio a riconoscere un "tempo di
> scattering" nel gruppo. Nel caso di una sorgente che si muove ad una
> data frequenza per� non so come procedere, forse mi sto solo
> incartando in un quarto di coriandolo, ma ne scrivo perch� magari hai
> un modo semplice per fugare questi dubbi, dato che dici di aver fatto
> il conto.
Se avessi capito il tuo dubbio...
Perch� tiri in ballo lo scattering?
Qui hai una sorgente in moto prestabilito (armonico nel mio caso).
Puoi calcolare i campi o dai potenziali ritardati o da quelli di
Lienard-Wiechert, separando i multipoli (Jackson docet).
E poi calcoli l'energia emessa.

Landau procede diversamente: scrive i pot. ritardati e sviluppa gli
integrali in serie di r/c.
E questo � il punto: questi non sono multipoli!
                          

--
Elio Fabri

Nella casa risuonarono i rintocchi di un orologio, poi di un altro, poi
di un altro ancora ... quanti orologi! Come se l� il tempo fosse una
realt� molteplice, diversa a ogni livello, in ogni stanza.
Received on Mon Oct 01 2012 - 20:40:31 CEST