Matteo D. ha scritto:
> Salve!
ciao. Solo un appunto: questa tua domanda non e' di Fisica, ma di Matematica.
Posti qui perche' studi Fisica? :-)
> Sia I contenuto in R, sia f: I -> R.
> f si dice convessa se per ogni x,y in I, e per ogni s in [0,1] vale
> f(sx+(1-s)y) <= sf(x) + (1-s)f(y) [uno]
Questa' e la definizione migliore, perche' ha un significato geometrico
intuitivo: nel grafico di una funzione convessa, il segmento congiungente due
punti qualunque sovrasta sempre la curva.
> Su wikipedia trovo la def equivalente:
> La funzione f � convessa se per ogni x,y in I
> f(x/2+y/2) <= f(x)/2 + f(y)/2 [due]
Questa definizione e' equivalente alla prima, ma dimostrarlo non e' del tutto
immediato:
la condizione e' semplicemente quella della prima definizione con s=1/2, per
cui e' ovviamente necessaria.
Per dimostrare che e' anche sufficiente, bisogna considerare che:
- qualsiasi s reale puo' essere approssimato a meno di qualsiasi epsilon reale
positivo per bisezioni successive e scelte dell'intorno bisecato di [0,1]
(ossia da un numero binario della forma 0,101000110001...)
- per qualsisi s=z, con z ottenuto esattamente con un numero finito di
bisezioni successive, la [due] implica a fortiori la [uno]
- la [due] implica che f e' continua in I (si dimostra facilmente per assurdo
considerando un valore in I in cui il limite destro e quello sinistro di f non
siano eguali, o non esistano)
- per f continua, limite per z->s di f(zx+(1-z)y) = f(sx+(1-s)y).
> ora: in effetti l'espressione "sx+(1-s)y" � solo un modo per indicare un
> punto compreso fra x e y. E allora che senso ha richiedere nella
> definizione (la prima che ho scritto) "per ogni s in [0,1]"? Non �
> sufficiente chiedere "per ogni x,y in I" e fissare *un solo* s compreso
> fra 0 e 1?
Sarebbe sufficiente (anche con s != 1/2), ma per trarne la [uno] e il suo
significato intuitivo bisognerebbe dimostrarla seguendo la traccia di sopra.
Faresti economia (ma di che?) nella definizione, lasciando il vero significato
nascosto in un corollario non intuitivo e di difficile dimostrazione.
Meglio considerare [uno] una definizione e [due] un criterio.
--
TRu-TS
Received on Wed Dec 10 2008 - 18:19:47 CET