On 11 Dic, 18:03, gooliver <scriv..._at_nelthread.com> wrote:
> E' sempre possibile esprimere in maniera analitica i vincoli a cui
> � soggetto un sitema materiale?
>
> Nel caso in cui ci� non sia possibile, il concetto di 'reazione vincolare'
> perde di senso o esistono delle estensioni pi� aderenti alla realt�
> fisica?
>
> ---
> Grazie x l'attenzione!
Ciao, la nozione di reazione vincolare � piuttosto complessa.
In generale viene fuori nella seguente situazione pratica. Uno ha un
sistema di punti materiali (o corpi solidi) in cui solo una parte
delle forze � assegnata in termini di funzioni dell'atto di moto, cio�
delle posizioni e delle velocit� dei vari punti del sistema. Questo
genere di forze vengono dette forze attive. La rimanente parte delle
forze, dette reazioni vincolari, invece � incognita, ma si suppone che
esista imponendo che continui a valere, per ciascuno dei punti del
sistema l'equazione di Newton F= ma, dove F � ora la somma delle forze
attive e delle razioni vincolari per ogni punto materiale o parte di
sistema. L'esistenza delle forze vincolari � postulata per il fatto
che il sistema fisico � soggetto a vincoli di carattere geometrico o
cinematico e le sole forze attive non sarebbero in grado di garantire
che il moto del sistema soddisfi tali vincoli. Il problema di
determinare il moto del sistema quando sono assegnate le condizioni
iniziali diventa quindi pi� complesso, perch� una parte delle forze
sono incognite come il moto stesso e, d'altra parte, sono date
informazioni in pi� di tipo geometrico o cinematico appunto assegnando
i vincoli.
Queste sole informazioni non sono sufficienti, da sole, a determinare
tutte le incognite dette sopra, lo diventano se si aggiungono
ulteriori informazioni che caratterizzano ulteriormente il tipo di
vincolo e che prendono il nome di relazioni costitutive o
caratteristiche del vincolo.
Per alcuni tipi di vincoli detti vincoli bilateri olonomi ideali (che
sono una generalizzazione abbastanza vasta dei vincoli lisci e che
includono il vincolo di rigidit� e quello di rotolamento quando �
integrabile), � possibile dimostrare (� questa l'essenza della
formulazione di Lagrange della meccanica), che passando dalle
coordinate cartesiane di ogni punto ad un sistema ridotto di
coordinate adattate al sistema (coordinate lagrangiane o libere), si
arriva ad un sistema di equazioni differenziali nelle quali sono del
tutto assenti le reazioni vincolari. Tali equazioni differenziali del
secondo ordine sono dette di Eulero-Lagrange e, sotto opportune
ipotesi di regolarit� delle funzioni coinvolte, hanno anche la
propriet� di ammettere sempre una ed una sola soluzione quando sono
assegnate le condizioni iniziali (posizioni e velocit� di ogni punto
del sistema all'istante iniziale). In definitiva, assegnate le
condizioni iniziali, dalle equazioni di E-L si determina il moto del
sistema ignorando l'esistenza delle reazioni vincolari. Una volta noto
il moto del sistema, usando ancora F=ma, in cui ora si conosce tutto
ecce3tto le reazioni vincolari, si ricavano le reazioni vincolari sul
moto considerato al variare del tempo.
Alternativamente, ma questo � leggermente pi� difficile da vedere
senza scrivere un po' di formule, usando ancora F=ma ma senza
risolvere le equazioni di E-L si riesce a scrivere l'espressione
analitica delle reazioni vincolari in funzione di posizione e velocit�
dei punti del sistema, tenendo conto che tramite le equazioni di E-L
l'accelerazione a si pu� esprimere in funzione di posizione e velocit�
e che le forze attive sono a loro volta funzione di posizione e
velocit�.
Tutto questo funziona nel caso di vincoli olonomi ideali. Si riesce a
dire qualcosa per vincoli cinematici, ma � molto pi� difficile (e non
sono un esperto dell'argomento).
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Sat Dec 13 2008 - 10:46:16 CET