Il 08 Ott 2008, 13:53, Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
> Ciao, ho capito quello che hai scritto, ma secondo me non � chiaro.
> Provo a riscriverlo, perch� il sistema di cui parli � fatto da due e
> non una
> particelle identiche (e quindi di massa identica). Si tratta di un
> punto dato per scontato su vari testi, e che merita di essere scritto
> per bene almeno una volta.
Nel caso della fisica atomica questa finezza viene introdotta a mano
aggiustando la massa efficace, ma a tutti gli effetti si continua a
ragionare come se gli elettroni fossero immersi in un campo centrale e le
considerazioni fatte riguardavano quel caso. Per parlare di momenti angolari
di singola particella nel caso che non ci sia un campo centrale occorrerebbe
una propriet� di separabilit� dell'equazione di Schroedinger nel sistema
delle coordinate relative, che in verit� mi sembra non sussista se non come
approssimazione per il cosiddetto caso ristretto.
> Ecco ora il punto cruciale: se si assume che sia una autofuzione a
> momento angolare L *rispetto al centro di massa* definito, vale la
> regola che dice Tetis
>
> P=(-1)^L
>
> In realt� questa vale per una particella sola di posizione r, ma
> risulta *nel caso in esame* che il momento angolare rispetto al centro
> di massa delle due particelle coincide con il momento angolare
> rispetto all'origine delle coordinate della particella fittizia di
> posizione r .
Perfetto. I gradi di libert� iniziali sono 6 la dimensione dello spazio
delle fasi 12, ma con il metodo di riduzione che sfrutta gli integrali primi
traslazionali, rotazionali e di autonomia temporale il sistema si riduce a
quadrature. In dettaglio: per le traslazioni separiamo 6 gradi di libert� le
cui equazioni di Hamilton sono completamente risolte, i sei gradi di libert�
restanti si riducono ancora da 6 a 3 fissando i tre valori del momento
angolare, lo spazio delle configurazioni residuo pu� essere ridotto ancora
di una unit� mediante il quoziente rispetto al sottogruppo di isotropia
delle rotazioni intorno al fissato valore del momento angolare (ovvero un
angolo pu� essere fissato ad arbitrio), e rimangono quindi 2 gradi di
libert� distanza relativa ed impulso, tuttavia l'energia totale �
conservata, quindi rimane un solo grado di libert� ovvero un'equazione
differenziale ordinaria del primo ordine che si risolve per quadrature. Nel
caso a tre corpi i gradi di libert� sono 9 e lo spazio delle fasi � 18
dimensionale con i soliti 3 integrali traslazionali e mediante il quoziente
rispetto ai tre sottogruppi traslazionali (il gruppo delle traslazioni �
abeliano ed ammette quindi tre sottogruppi isotropi di traslazione rispetto
al fissato valore delle traslazioni) si riducono a 12 gradi di libert�,
fissando il momento angolare e riducendo rispetto al sottogruppo di
isotropia si cala ad 8 gradi di libert�, con l'energia rimangono allora 7
gradi di libert�, che generalmente non sono ulteriormente
separabili/riducibili a meno di simmetrie approssimate. Occorre dire che
tanto nel caso di interazione armonica quanto nel caso di interazione
kepleriana a due corpi esiste un ulteriore integrale accidentale che
garantisce che le orbite sono chiuse e tradotto quantisticamente che alcuni
livelli abbiano una degenerazione accidentale ovvero il gruppo di simmetria
� pi� ampio di quello che abbiamo descritto, per via di una simmetria
dinamica (parzialmente indipendente: il vettore di Lenz � determinato dagli
altri integrali in lunghezza, ma non in direzione). Lo schema di riduzione
che abbiamo delineato, tuttavia, non dipende dalla natura specifica delle
interazioni binarie e permette di ridurre le equazioni di Heisenberg del
sistema a tre corpi ad un sistema di 4 equazioni canoniche accoppiate ed
autonome, quindi l'hamiltoniana � costante del moto.
> Conclusione. Se il momento angolare totale rispetto al centro di massa
> � pari (in particolare L=0), allora anche psi(r) � invariante per
> scambio delle due particelle.
>
> Nel caso di pi� di due particelle, e nel caso in esame erano 3,
> bisogna passare a lavorare nelle cosiddette coordinate di Jacobi ed il
> ragionamento non funziona pi�! Per ironia della sorte queste
> coordinate sono discusse, da qualche parte, proprio nel testo di
> Caldirola Cirelli Prosperi....
Il caso a simmetria centrale � per� pi� semplicemente descritto ricorrendo
alle simmetrie di singola particella, che rimangono indipendenti. Ogni
particella ha tre gradi di libert�, lo spazio delle fasi ha 6n dimensioni
indipendenti perch� i gruppi di rotazione di particelle indipendenti
commutano e l'hamiltoniana � invariante rispetto a questo gruppo SO(3)^n,
quindi 6n-3n = 3n; mediante quoziente rispetto ai sottogruppi di isotropia
SO(3)/SO(2) rimangono 2n gradi di libert�, le n equazioni residue sono
indipendenti ed autonome, e quindi il sistema si riduce ad n equazioni
differenziali ordinarie indipendenti in n variabili.
Il caso di potenziale centrale armonico ha un gruppo di simmetria pi� ampio,
il gruppo di monodromia per la singola particella � proprio il classico
SU(3) e la riduzione del sistema hamiltoniano pu� procedere interamente da
questo gruppo che contiene come sottogruppi di isotropia, gerarchimamente
SO(3), SO(2) e le traslazioni di fase. Come conseguenza abbiamo che
l'oscillatore armonico ha non soltanto 3 integrali in involuzione: L^2, Lz,
H come tutti i sistemi in campo centrale (integrali associati ai gruppi
SO(3), al sottogruppo SO(2) ed al gruppo d'invarianza per traslazione
temporale), ma addirittura 5 integrali in involuzione: H_x, H_y,H_z, L^2,
L_z (mentre H = H_x + H_y + H_z) .
Questi argomenti sono validi tanto classicamente che quantisticamente. Per
il sistema quantistico c'� in pi� il gruppo di permutazione e qui ho una
difficolt� tecnica: supponiamo di avere una funzione d'onda che �
autofunzione simultaneamente rispetto ad L^2, L_z ed S^2,s_z. Sappiamo che
il modo pi� semplice per costruire queste autofunzioni � per prodotto
diretto degli spazi di Hilbert, ad ogni modo quando il sistema consta di tre
soli gradi di libert� L^2 ed L_z sono un sistema completo per la parte
angolare e rimane un grado di libert� che � la parte radiale della funzione
d'onda, ovvero tutte le funzioni autostato del momento angolare possono
essere espresse in termini di una funzione armonica sferica e di una parte
radiale che � un poco la parte inversa del fatto che autofunzioni simultanee
sono esprimibili da prodotti diretti. Per 9 gradi di libert�, in verit� di
autofunzioni simultanee per L^2 ed L_z ne abbiamo uno spazio di Hilbert a 7
gradi di libert� (funzioni d'onda nelle coordinate residue)? E' possibile
anche in questo caso fattorizzare in termini di una armonica sferica in
theta phi e di altre coordinate relative? Per la parte di spin lo spazio di
Hilbert 8 dimensionale, dopo avere imposto il vincolo di spin S, S_z
fissati, si riduce ad uno spazio di Hilbert 6 dimensionale? Ammesso che
questo sia corretto la domanda �: qual'� l'effetto di implementare la
simmetrizzazione in questi spazi? Il momento angolare commuta con il gruppo
delle permutazioni, ma il gruppo delle permutazioni non � commutativo, le
sue rappresentazioni scompongono lo spazio vettoriale ad autospazi su cui le
rappresentazioni non sono ulteriormente riducibili, di fissata dimensione.
Se in tre gradi di libert� spaziali e tre di spin fissiamo simultaneamente
lo spin, ed il momento angolare, nonch� la pura simmetria di scambio, che
struttura ha lo spazio Hilbert?
> Ciao, Valter
>
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Received on Wed Oct 08 2008 - 17:29:03 CEST