Re: uuu

From: Teti_s <"te..."_at_libero.it>
Date: Sun, 12 Oct 2008 00:38:57 GMT

Il 09 Ott 2008, 22:16, "te..."_at_libero.it (Teti_s) ha scritto:
> Il 07 Ott 2008, 21:29, Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it> ha scritto:
> > Paolo Cavallo ha scritto:
> > > ...
> > > Questo non � possibile perch� ipotizziamo un sistema uuu, OK. Ma
> > > perch� il colore non pu� essere usato per risolvere il problema?
> > > Perch� la funzione d'onda totale spin-sapore-colore non pu� avere la
> > > simmetria necessaria?
> > Eh eh, nel frattempo ho risolto l'arcano :)
> > Non puoi usare il colore perche' si deve assumere che le particelle
> > osservabili siano singoletti di colore.
> > Nel caso di tre quark il singoletto e' completamente antisimmetrico.
>
> D'accordo su questo, ma la questione � allora riformulabile in questi
> termini: perch� non � possibile costruire una funzione d'onda (orbitale +
spin) simmetrica
> utilizzando combinazioni lineari di prodotti delle due rappresentazioni
> irriducibili miste del gruppo di permutazione? Quelle cio� che
corrispondono
> al diagramma autoduale:
>
> **
> *
>
> Il problema � probabilmente con il vincolo aggiuntivo che il momento
> angolare intrinseco risulti zero. Ovvero che la funzione d'onda totale sia
> invariante per rotazioni intorno al centro di massa.


Nel caso di particelle identiche, in campo centrale, di momento angolare l=1
si pu� dire che il momento angolare orbitale che corrisponde allo schema:

**
*

non pu� essere che L=1 oppure L=2. Quindi � escluso L=0 che certamente
corrisponde allo stato totalmente antisimmetrico.

Tuttavia sulla falsa riga dell'esempio che ha trascritto Dido ho costruito
due funzioni indipendenti entrambe con L=0, che generano la rappresentazione
irriducibile del gruppo di permutazione corrispondente al diagramma di cui
sopra. Suppongo ancora che la funzione orbitale dipende solo dalle distanze
relative, cio�: f(r12,r23,r13) questo � certamente sufficiente ad avere
invarianza per rotazioni e tanto basta perch� si possa dire che la funzione
d'onda ha L=0.

per comodit� indico

r12=x
r23=y
r31=z

e trovo le due funzioni di base ad L=0.

x^2(y+z) - z^2(x+y)
y^2(x+z) - x^2(y+z)

per la parte di spin trovo i due vettori:

(+,-,+) - 2(+,+,-) + (-,+,+)

2(+,+,-) - 2(-,+,+)

a cui appartiene lo stato:

((+,-)-(-,+))(+) di spin 1/2


ed analogamente un'altra rappresentazione irriducibile dello stesso
diagramma componente di spin -1/2
Il tutto pu� essere arrangiato in modo da ottenere due stati simmetrici nel
prodotto delle rappresentazioni di L=0 e spin 1/2.

> > dido ha scritto:
> > > A pag 443-444 fa la considerazione che hai richiamato con la segunte
> > > logica: la funzione d'onda e' il prodotto del fattore spaziale, di
> > > spin e di specificazione quarkica (non ha ovviamnete ancora introdotto
> > > il colore, lo fa il paragrafo dopo ndr); poiche' lo spin e la parte
> > > quarkica sono simmetriche _deve_ essere antisimmetrica la parte
> > > spaziale e allora costruisce una funzione d'onda invariante per
> > > rotazione e traslazione e antissimmetrica.
> > Mi piacerebbe vedere com'e' fatta.
>
> Ad esser proprio pignoli non pu� esistere una funzione d'onda con parte
> spaziale invariante per traslazioni,

In effetti quella esibita da Morpurgo non � la funzione d'onda orbitale,
bens� il fattore della funzione d'onda orbitale che dipende dalle coordinate
intrinseche.

> pu� esistere una funzione d'onda con
> momento angolare intrinseco nullo e momento angolare del centro di massa
> nullo.
> Domanda: se entrambe queste condizioni sono verificate, questa
> funzione d'onda deve essere il prodotto di una funzione delle sole
> coordinate del centro di massa per una funzione delle sole coordinate
> intrinseche?

Per un controesempio, rispetto alla questione di principio, basta pensare al
caso di tre elettroni in tre orbitali p. Indico con (l,l_z,s_z) gli stati di
singola particella, con (L,L_z,S,S_z) i numeri quantici di entrambi
(1,1,1/2) (1,1,-1/2) (1,0,1/2) sono tre stati distinti quindi verificano il
principio di Pauli, infatti il prodotto delle tre rispettive funzioni d'onda
pu� essere antisimmetrizzata e conduce ad una funzione d'onda non nulla,
questo � uno stato ^2 D doppietto di spin, quintupletto di momento orbitale,
ovvero appartiene al prodotto diretto delle due rappresentazioni (L=2)
(S=1/2) e tuttavia la funzione d'onda non pu� essere espressa come prodotto
di uno stato con L=2 e di uno stato con S=1/2 ovvero come prodotto tensore
di vettori di stato appartenenti alle rappresentazioni irriducibili
parziali: orbitale e di spin.


P.s:

notare che la parte polinomiale della funzione � di grado 6, quindi richiede
rappresentazioni irriducibili fino all'orbitale "d" sui gradi di libert�
associati alle due particelle fittizie in coordinate di Jacobi, decisamente
difficile da ottenere per forza bruta senza un'intuizione semplice e
geniale, tuttavia notevole la coincidenza:
che la sua rappresentazione in coordinate di Jacobi contiene probabilmente
uno stato (L=2,L_z=2) ed uno stato (L=2,L_z=-2) fra gli addendi: di - do -->
L=0 :-)))


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Received on Sun Oct 12 2008 - 02:38:57 CEST

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