Il 12 Set 2008, 20:05, Antrox <Antrox_at_gmail.com> ha scritto:
> Salve, mi scuso in anticipo per la terminologia non troppo corretta:
>
> Prendiamo l'equazione del calore standard: ut = K uxx (per 0<=x>=L;
> t>=0)
> Se prendiamo le condizioni al contorno u(0,t) = u(L,t)=T la soluzione
> stazionaria esiste � sar� semplicemente la funzione costante T.
> Se prendiamo le condizioni di newman con ux(0,t)=A ; ux(L,t)=B, la
> soluzione stazionaria esiste solo se A=B.
>
> Prendiamo ora una sorgente di calore, con questa l'equazione sar� ad
> esempio: ut = K uxx + Q(x) (per 0<=x>=L; t>=0) con condizioni di
> Dirichlet omogenee
>
> 1)Volendo trovare la soluzione stazionaria baster� porre K uxx + Q(x)
> = 0
Esatto. E questa � un'equazione differenziale ordinaria che risolvi per
quadratura. La soluzione generale �:
u(x) = u(0) + x u'(0) + Int_0^x [int_0^y Q(z) dz] dy
con due costanti arbitrarie u(0) ed u'(0). Una delle due costanti � fissata
dalla prima condizione di Dirichlet, la seconda � a sua volta vincolata
dalla seconda condizione di Dirichlet. Infatti basta porre u'(0) in modo
tale che:
u(L) = u(0) + L u'(0) + Int_0^L [int_0^y Q(z) dz] dy
in questa equazione u(L), u(0), e l'integrale sono numeri fissati, u'(0) �
l'incognita. Per quanto riguarda la condizione di Neumann si vede subito che
si esplica in due condizioni indipendenti sulla derivata prima, ma rispetto
alla derivata prima l'equazione di secondo ordine lascia un solo grado di
libert�, quindi non sempre la condizione di Neumann pura pu� essere
verificata. Quando si fissano il valore della funzione ed il valore della
derivata prima in un punto siamo in presenza di quelle che si chiamano
condizioni al bordo miste.
> ma in questo caso devo verificare a priori se la soluzione stazionaria
> esiste verificando che la conservazione della quantit� di calore sia
> soddisfatta?
>
> 2) E come si verifica? Io avevo pensato semplicemente, dato i discorsi
> precedenti, di integrare tra 0-L la Q(x) verificando che l'integrale
> venga zero. Infatti in questo caso la sorgente di calore � sia
> positiva che negativa in modo tale da annullarsi a vicenda. Per
> spiegarmi: se Q(x)=COST > 0 allora la sorgente di calore essendo
> sempre positiva non fa arrivare mai la soluzione ad un risultato
> stazionario perch� diciamo che c'� sempre un emissione di calore
> (forse il mio errore � che intendo Q(x) come un flusso?)
Esatto, il punto � che il flusso � dato da - k Grad(u) quindi �
perfettamente ammissibile avere un flusso di calore uscente per assegnate
condizioni di Dirichlet omogenee (� il caso di una lampadina per esempio: il
calore generato dalla corrente viene continuamente dissipato ai bordi, dove
la temperatura raggiunge un valore stazionario, e se � lecito assumere
proporzionalit� fra contenuto termico per unit� di volume e temperatura hai:
u(x) = a T(x) quindi fissare la temperatura al bordo equivale a fissare il
contenuto termico specifico) diversamente, se imponi le condizioni di
Neumann il flusso termico � fissato e non necessariamente bilancia la
produzione termica).
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Received on Sun Sep 21 2008 - 16:04:42 CEST