Re: Domanda elementare sull'operatore di moltiplicazione

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Tue, 16 Sep 2008 00:30:12 -0700 (PDT)

On Sep 15, 10:58 pm, Lorents <lore..._at_amp.te> wrote:
> Consideriamo L^2(R) e sia {f_n(x)} n=0,... +infty una base ortonormale.
> Ora consideriamo la matrice X_N corrispondente alla matrice
> dell'operatore di moltiplicazione per x troncata a NxN.
> E' vero o non e' vero che, indipendentemente dagli specifici dettagli
> della base, le autofunzioni di X_N tendono (nel senso delle
> distribuzioni) a delta di Dirac per N->infty ??
>
> Lorenzo

Ciao, ti stai ponendo un problema tecnicamente molto difficile. Io
credo che la risposta al problema, messo nei termini generale che poni
tu, sia negativa. Questo perch� stai cercando di approssimare
brutalmente un operatore illimitato X, con una classe di operatori
limitati compatti
{X_N}_N, cosa sicuramente impossibile nella topologia uniforme (quella
naturale degli operatori compatti). Costruire un controesempio mi
farebbe perdere diverse ore e non ho tempo. Probabilmente invece �
vero che, per una *opportuna* base (probabilmente quella associata ai
polinomi di Hermite), quello che dici � vero. Tieni conto che ogni
operatore X_N ha un numero finito di autovalori, quello che deve
succedere � che, aumentando N, il numero di autovalori non solo tende
all'infinito, ma diventa denso in R. Quindi all'interno dell'unione di
queste classi di autovalori bisogna costruire un percorso che tende ad
un fissato punto di x e vedere se la successione corrispondente di
autofunzioni tende alla delta piccata in quel punto. Mi spiace non
aver tempo per dire di pi�...

Ciao, Valter
Received on Tue Sep 16 2008 - 09:30:12 CEST