?manu* ha scritto:
> Vediamo in tre dimensioni. Hai un insieme che � ottenuto attaccando tra
> loro infiniti tubi pieni, giusto? Il punto � che questi tubi li puoi
> spostare praticamente come vuoi... Per esempio metti di avere un
> reticolo cubico. In un vertice hai 6 tubi che si collegano tra loro.
> Riesci per� a spostare uno di questi tubi lungo un'altro tubo in modo da
> lasciarne solo 5. Quei 5 rimasti li puoi deformare in modo da formare il
> vertice di un reticolo composto da prismi esagonali. Quello rimasto lo
> puoi spostare lungo tutto il reticolo e metterlo insieme ad altri 4
> estremit� di tubi "avanzati". Siccome hai infiniti tubi, riesci
> sostanzialmente a riarrangiarli come meglio credi...
> Dunque i reticoli sarebbero dei grafi. Ad esempio per il reticolo
> quadrato puoi prendere i punti del piano che hanno almeno una coordinata
> intera. Il suo complementare � un unione di quadrati aperti di lato 1.
>
> Se X � un insieme, lo "r-ingrassato" di X sarebbe l'insieme dei punti
> che distano meno di r da X. Dunque l'ingrassato del reticolo di cui
> sopra (con r abbastanza piccolo) � una unione di strisce. Il suo
> complementare � una unione di quadrati disgiunti di lato 1-2r.
>
> Due insiemi si dicono "omeomorfi" se possono essere messi in
> corrispondenza biunivoca tramite una funzione continua con inversa
> continua. Due insiemi omeomorfi sono indistinguibili dal punto di vista
> topologico, quindi hanno gli stessi gruppi di omotopia e di omologia.
Per cominciare, faccio ammenda per aver intodotto io il termine
"reticolo" che in matematica ha un significato gia' stabilito e
diverso, e in fisica dei solidi pure (diverso da quello matematico,
ovviamente :) ).
Riferendomi a quelli che ?manu* chiama "reticoli ingrassati", proporrei
un termine che spero non sia gia' stato usato: "traliccio".
L'argomento di ?manu* sull'omeomorfismo tra traliccio quadrato,
esagonale e triangolare in tre dim. non mi convince: ora cerchero' di
spiegare perche'.
Disegno il traliccio quadrato in due dim.:
___|______|______|______|______|___
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___|______|______|______|______|___
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___|______|______|______|______|___
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___|______|______|______|______|___
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S'intende che le righe sono da considerare "spesse", ossia strisce.
Se capisco bene, ?manu* dice che con un omemorfismo lo si puo'
trasformare in questo:
|______| |______| |___
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___| |______| |______|
| | | | |
|______| |______| |___
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|______| |______| |___
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___| |______| |______|
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|______| |______| |___
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e poi in questo:
\____/ \____/ \__
/ \ / \ /
__/ \____/ \____/
\ / \ / \
\____/ \____/ \__
/ \ / \ /
__/ \____/ \____/
\ / \ / \
\____/ \____/ \__
/ \ / \ /
__/ \____/ \____/
\ / \ / \
\____/ \____/ \__
/ \ / \ /
Fin qui OK. Ma in tre dim. c'e' una novita': se chiamo "montanti" gli
elementi verticali del traliccio, queli che collegano i nodi su piani
orizzontali adiacenti, nel passaggio dalla prima alla seconda versione
i montanti debbono essere raddoppiati.
Questo non si puo' fare scindendone uno in due (non sarebbe un
omeomorfismo) ma credo di capire che secondo ?manu* si possa fare
"prendendoli dall'infinito", cosi' come si potrebbe fare in una
struttura lineare
---x---o---x---o---x---o---x---o---x---o---x---o---
dove gli "o" sono posti vuoti e gli "x" sono posti pieni.
Basta far scorrere tutti i punti verso l'origine, con una contrazione
di un fattore 2, et voila'...
Viceversa, la trasf. da quadrato a trinagolare richiede di fondere due
montanti in uno, e si puo' fare com la mappa inversa.
Il mio dubbio discende dal fatto che noi all'omeomorfismo dobbiamo
richiedere di piu': non solo deve trasformare il traliccio, ma allo
stesso tempo deve anche trasformare il traliccio complementare.
Nell'esempio che io avevo fatto, il traliccio complementare a quello
cubico e' ancora cubico, ma quello complementare all'esagonale e' il
triangolare.
Non mi sembra che si possano trasformare *insieme*, anche se non vedo
come dare la prova che non si puo'...
Quanto alle obiezioni di Giorgio, mi dispiace ma non le ho proprio
capite.
Mi verrebbe da pensare che stiamo pensando a cose diverse; forse le
mie figurine possono aiutare a decidere questo punto.
--
Elio Fabri
Received on Tue Sep 09 2008 - 21:19:40 CEST