Franco ha scritto:
> In un condensatore, fra le facce piane parallele e` presenta una
> lamina conduttrice, parallela alle armature, di massa m e carica
> totale q. Questa lamina e` libera di muoversi, non c'e` aria e
> neanche gravita`. La lamina viene spostata per mezzo della tensione
> applicata alle
> armature del condensatore e controllata in modo che non vada mai a
> sbattere contro le armature (una specie di esperienza di Millikan).
> Qual e` l'impedenza vista ai morsetti del condensatore, oppure qual e`
> la relazione differenziale i(v)? Un gruppo di colleghi fisici ha fatto
> un modello risonante, con una L, mentre a me pare che non saltino
> fuori delle L e non ci siano risonanze, ma solo una capacita` piu`
> grande. Probabilmente non ci siamo capiti sul problema iniziale :)
Uso ovunque unita' gaussiane, pongo ' = d/dt.
Suppongo che le due armature del condensatore aventi
area A e aventi rispettivamente al tempo t cariche
Q(t) > 0 e -Q(t), giacciano rispettivamente nel
piano x = - L e x = L, con L^2 << A, e che al tempo
t la lamina di carica q > 0 giaccia nel piano x = x(t),
-L < x(t) < L.
Integrando tra -L e L il campo presente tra le armature
al tempo t si ottiene la differenza di potenziale tra le
armature al tempo t:
(1) V(t) = 4 * Pi / A * (2 * Q * L - q * x),
isolando x nella (1) e derivando due volte rispetto
al tempo si ottiene, dato che la corrente che
attraversa il condensatore e' I = Q':
(2) x'' = (2 * L * I' - A / 4 / Pi * V'') / q
la forza elettrostatica agente sulla lamina al tempo t vale:
(3) m * x'' = 4 * Pi / A * q * Q,
sostituendo x'' ricavato dalla (2) nella (3) si ottiene:
(4) m * (2 * L * I' - A / 4 / Pi * V'') / q = 4 * Pi / A * q * Q,
derivando la (4) rispetto al tempo e riordinando i termini si ha:
(5) A / 4 / Pi * V''' = 2 * L * I'' - 4 * Pi / A / m * q^2 * I,
posto I = I_0 * exp(i*omega*t) e V = V_0 * exp(i*omega*t),
sostituendo nella (5) e isolando il fattore V_0 / I_0 si ottiene
l'impedenza complessa:
Z = V_0 / I_0 =
-i * [16 * Pi^2 * q^2 / A^2 / m / omega^3 + 8 * Pi * L / A / omega].
Come verifica controlliamo che nel limite q -> 0 e nel limite
m -> +oo si riottenga l'impedenza del condensatore senza
la lamina:
lim q -> 0 Z = lim m -> +oo Z = -i * 8 * Pi * L / A / omega =
- i / omeca / C,
ove C = A / 8 / Pi / L e' la capacita' del condensatore senza
la lamina.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Fri Sep 05 2008 - 13:33:36 CEST