Il problema � quello di scrivere in modo sintetico un' espressione per la
densit� di particelle nello spazio delle fasi per un gas che al tempo zero
si trova in una scatola parallepipeda di lati L,L,2L, confinato, ed in
equilibrio
termodinamico alla temperatura T in una met� cubica della scatola,
nell'ipotesi che per un certo tempo caratteristico il moto avvenga senza
un numero significativo di collisioni. E quindi andare a disegnare la
densit� in funzione del tempo, magari costruendo un'animazione.
Assumo che la scatola si estenda lungo x in [0,2L] lungo y e lungo
z in [0,L]. La soluzione pi� semplice che ho trovato ha questa forma:
la distribuzione f( x, y, z, v_x, v_y, v_z) � inizialmente fattorizzata
nella
forma:
n chi ( y/L) chi (z/L) chi(x/L) N( v_x/ sqrt(2 m k T)) N(v_y/ sqrt( 2 m k
T)) N(v_z/ sqrt(2 m k T))
dove n � la densit� di volume, chi � una funzione caratteristica
dell'intervallo [0,1] ed infine N � la distribuzione normale.
Al tempo t i fattori nelle variabili y,z,v_y,v_z rimangono
invariati, mentre i fattori in x, v_x sono sostituiti da:
N( v_x / sqrt(2 m k T)) ( 1 + Sign ( cos( pi ((x - v_x t)/2L)) Chi(x/2L).
nonostante l'apparente complicazione l'idea � semplice:
l'espressione che contiene il segno � costruita in modo da
valere zero se la posizione che aveva al tempo zero
la particella che sta in x al tempo t con velocit� v_x
era in [0,L] e da valere zero altrimenti.
Ora questa espressione mi sembra non separabile, per ottenere
l'evoluzione temporale della densit� occorre considerare l'integrale
in v_x da -oo a +oo. In termini pratici quello che succede � che
al crescere del tempo la distribuzione assume una forma a bande
nella velocit� che dipende dalla posizione considerata. Queste
bande sono alternate ed equidistanti. In pratica stiamo moltiplicando
la distribuzione gaussiana per una funzione a muretti di altezza
alternativamente 0,1, ma la larghezza di questi muretti uguaglia
la loro distanza ed � inversamente proporzionale a t. In pratica
per tempi abbastanza grandi si ottiene una densit� di particelle
circa dimezzata nella direzione x, con velocit� praticamente
equidistribuite (anche se andando a guardare in dettaglio alcune
velocit� saranno completamente assenti). Ora mi piacerebbe
costruire un'applet che illustra graficamente l'evoluzione temporale
della densit� spaziale. Il problema � quello di andare ad integrare
quelle espressioni ottengo una serie di termini erfc che per fissati
L, m, T dipende dal tempo e da x. Esistono delle routine che evitano
di dovere utilizzare questa espansione analitica in modo numericamente
efficiente?
Quale programma pronto � pi� conveniente utilizzare per costruire
questa animazione? Grazie a chi volesse cimentarsi.
--------------------------------
Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Tue Apr 15 2008 - 19:41:22 CEST