Il 14 Apr 2008, 10:50, "Giorgio Bibbiani"
<giorgio_bibbianiTOGLI_at_virgilio.it> ha scritto:
In una scatola composta da due contenitori cubici da 1 decimetro di lato
ciascuno,
separati da un setto, un gas occupa una met�. Il setto viene rimosso per un
tempo
brevissimo e quindi ricollocato Che temperature nei due
contenitori dopo il riequilibrio, assumendo pareti e setto isolanti?
> Non ho tempo di fare i calcoli espliciti, do solo una traccia della
> soluzione (secondo me naturalmente :-).
In effetti i calcoli espliciti non sono necessari, basta
l'impostazione e ricordarsi un teorema di Eulero.
> Questo apparato e' sostanzialmente un selettore di velocita',
> che favorisce la fuoriuscita delle molecole piu' veloci, quindi
> chiamando 1 il contenitore in cui e' contenuto inizialmente il
> gas e 2 l'altro, alla fine, dopo il riequilibrio, si avra' T2 > T1.
Corretto :-)))
Per le ipotesi fatte, suppongo che le molecole urtino
> elasticamente le pareti dei contenitori, e non interagiscano
> tra loro. Se il setto giace nel piano y-z, allora
> verranno influenzate solo le distribuzioni delle
> componenti x delle velocita' delle molecole,
Ok
> chiamando v il modulo della componente x della velocita',
> se n1(v, t) e n2(v, t) sono le distribuzioni al tempo t dei moduli
> delle componenti x delle velocita' delle molecole contenute
> nei due recipienti, allora valgono le condizioni:
> (1) n1(v, 0) = NMB(v), n2(v, 0) = 0,
> (2) n1(v, t) + n2(v, t) = NMB(v),
> ove NMB(v) e' la distribuzione di Maxwell-Boltzmann per
> il modulo della componente x della velocita'
> del gas nel recipiente 1 alla temperatura iniziale T
> (normalizzata al numero totale di molecole N).
> Il numero di molecole aventi velocita' in un intervallo
> dv intorno a v che passano da un recipiente all'altro
> in un tempo infinitesimo dt
Nel caso specifico non occorre considerare tempo
infinitesimo, perch� se le particelle sono 10^14 nel
tempo che una frazione di un decimo passa da una
parte all'altra del contenitore non avvengono collisioni.
Questo tempo non � brevissimo in effetti: con meccanica
adeguata l'esperimento dovrebbe essere fattibile.
Le equazioni differenziali che scrivi poi possono essere
lette in questo modo. Nel tempo t la frazione di particelle con
componente lungo x della velocit� in un intorno dv_x di v_x,
che passa al contenitore due � la frazione di Maxwell Boltzmann
che � contenuta nel volume v_x t. Questa frazione � pari alla densit�
iniziale moltiplicata per la distribuzione di Maxwell Boltzmann e per
il volume quindi
Int_0 ^ L/t t v_x p(v_x) dv_x
per le particelle che hanno velocit� maggiore di L/t il discorso � pi�
complesso perch� possono avvenire riflessioni da parte delle pareti.
D'altra parte poich� la distribuzione di Maxwell Boltzmann � una
Gaussiana con larghezza v_m dell'ordine di sqrt(kT/m) ed il tempo
t � dell'ordine di v_m L/10 = t non si sbaglia troppo se si completa
l'integrale di cui sopra fino ad infinito.
e' direttamente proporzionale
> al valore di v e al valore di n(v, t), quindi
> vale l'equazione differenziale:
> (3) dn2(v, t) / dt = - k * v * (n2(v, t) - n1(v, t)),
> ove k e' una costante opportuna che dipende dalla geometria
> dell'apparato, sostituendo la (2) nella (3) si ha:
In verit� ho un dubbio su questa equazione: dopo
l'apertura del setto la distribuzione non rimane fattorizzata,
per la precisione: n1(x,v,t) ed n2(x,v,t) non sono spazialmente
uniformi, allora per seguire questa linea di ragionamento
bisognerebbe impostare l'equazione di Vlasov non collisionale,
che per il nostro gas � molto semplice in effetti, ma non tanto
semplice, e risolvere sulla frontiera. Io avevo pensato di impostare
questo discorso ma lo avevo lasciato da parte, per� dovrebbe essere
istruttivo. Ad ogni modo l'ipotesi che nel tempo di apertura
del setto non avvengono collisioni permette di evitare tutto questo
se lo scopo � solo rispondere al quesito posto.
> (4) dn2(v, t) / dt = - k * v * (2 * n2(v, t) - NMB(v)),
> che ha soluzione, per la data condizione iniziale:
> (5) n2(v, t) = NMB(v) * [1 - exp(- 2 * k * v * t)] / 2
> imponendo la condizione che al tempo t1 nel recipiente
> 2 sia passato il 10 % delle molecole:
> (6) Integrale[n2(v, t1) dv, da 0 a +oo] = 0.1 * N,
Mi hai dato un bel tema ulteriore a cui ripensare: come
varia nel tempo la popolazione? Pensando solo ad (N1, N2)
Il mio ragionamento era: dal momento che le particelle non
interagiscono ed inizialmente
quelle con velocit� in (v_x, v_x + dv_x) sono distribuite uniformemente
su tutto il volume v_x t allora al tempo parziale: tau sar� passata una
frazione proporzionale a v_x tau, allora per linearit� l'andamento
della popolazione complessiva N2 � lineare nel tempo.
(fino a che � lecito lasciare da parte le particelle tanto veloci
che fanno in tempo a rimbalzare e tornare nella frazione 1).
> si ricava il valore di k * t1 corrispondente, e si sostituisce
> nella (5)
In effetti io trovo il tempo necessario scrivendo:
t < |v_x| >/2 = L/10.
per trovare la forma esplicita della distribuzione
> nel recipiente 2 della componente x della velocita' al
> tempo t1, quindi si sostituisce questa distribuzione
> nella formula per il calcolo dell'energia totale delle
> molecole, aventi massa m, nel recipiente 2
Ok, vale per� sempre l'obiezione sulla equazione iniziale,
io risolvevo il problema di trovare la frazione totale
di particelle in 2 al tempo t scrivendo:
(N/L) t (v_x) p(v_x) dv_x
ed integrando su tutte le v_x maggiori di zero, mentre
per l'energia trasferita risolvo in questo modo:
vado a calcolare il valore medio del quadrato
della componente v_x:
Int_0 ^ oo (v_x)^3 p(v_x) dv_x = < |v_x|^3 >
risulta, se non ricordo male, < | v_x |^3 > / < |v_x|> = 2 <|v_x|^2>
che si ottiene dall'equazione per i momenti di una distribuzione
gaussiana, quindi sfruttando solamente argomenti di riscalamento,
possibili perch� l'energia � una funzione omogenea della velocit�.
Una volta ottenuto il valor medio della componente x della velocit�
quadrata, osservo che le componenti y e z e tutte quelle relative
ad eventuali gradi di libert� intrinseci, sono indipendenti, quindi
mantengono la loro distribuzione anche nel volume 2. Pertanto
se le molecole del gas hanno K gradi di libert� ottengo che
l'energia cinetica totale � pari ad (K+1)/K dell'energia che
avrebbe la stessa frazione del gas nello stato di equilibrio
inizialmente.
> (k_B = costante di Boltzmann):
> E = N / 10 * k_B * T +
> Integrale[1/2 * m * v^2 * n2(v, t) dv, da 0 a +oo],
> e si impone che all'equilibrio valga:
> E = 3/2 * N / 10 * k_B * T2.
>
> La differenza con l'esperienza di Joule sta nel fatto che
> in quel caso le molecole che passano nel recipiente
> 2 sono termalizzate dagli urti con le altre molecole.
C'� anche una leggera differenza nel calcolo dell'entropia,
si vede che alla fine del processo in effetti cresce, ma cresce
un poco meno di quanto crescerebbe se le temperature fossero
equipartite. Quindi conclusivamente non ci sono difficolt� con il
secondo principio, nonostante l'aspetto paradossale di avere ottenuto
un gas a temperatura pi� alta da un gas a temperatura pi� bassa,
questa non � una violazione del secondo principio perch� non
� avvenuto solamente trasferimento di energia ma anche di stato
complessivo del sistema in variabili intensive come la pressione estensive
come il numero di particelle per frazione.
> Ciao
> --
> Giorgio Bibbiani
Ciao. Grazie per il tempo dedicato, mi piacerebbe adesso vedere
di impostare il problema dell'evoluzione delle distribuzioni nell'ipotesi
di indipendenza dei moti. Ci aggiorniamo.
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Received on Tue Apr 15 2008 - 03:26:06 CEST