Tetis ha scritto:
Le espressioni che ho scritto in precedenza contenevano qualche errore,
provo a riscriverle.
La prima che mi fornisce (implicitamente) il tempo dt necessario al
passaggio della frazione eps ( 0 < eps < 1 ; nel nostro caso � eps = 0,1)
nella parte inizialmente vuota del recipiente � la seguente:
eps = INT[0,1]dl[INT[vmin(l,dt), infinito](f(v)*dv)] (1)
dove:
l = x/xo con xo lato del recipente (nel nostro caso 10 cm);
vmin(l) = xo*(1-l)/dt velocit� minima necessaria a una particella che si
trova in x ( con 0 < x < xo ) per passare nel secondo recipiente entro il
tempo dt di apertura del dispositivo (dell'ordine del milionesimo di
secondo);
f(v)*dv = probabilit� secondo Maxwell di avere una particella con velocit�
lungo x compresa tra v e v +dv.
Esplicitando f(v) ed eseguendo una sostituzione nella variabile
d'integrazione v la (1) diventa:
eps = (1/sqrt(pi))*INT[0,1]dl[INT[xmin(l,dt),infinito](exp(-x^2)*dx)] (1')
dove xmin = vmin*(m/2kTi)^(1/2) = [xo*(1-l)/dt]*(m/2kTi)^(1/2)
e Ti indica la temperatura iniziale del gas prima dell'azionamento del
setto divisore.
La temperatura finale Tf del gas passato nella parte inizialmente vuota
del recipiente � data da:
Tf = (1/(3*eps))*(m/k)*INT[0,1]dl[INT[vmin(l,dt),infinito](f(v)*v^2*dv)]
(2)
Esplicitando f(v) ed eseguendo una sostituzione nella variabile
d'integrazione v la (2) diventa:
Tf =
(2/sqrt(pi))*(1/(3*eps))*Ti*INT[0,1]dl[INT[xmin(l,dt),infinito](exp(-x^2)*x^2*dx)]
(2')
che si pu� ulteriormente semplificare integrando per parti, giungendo a
un integrale semplice (per brevit� non riporto il risultato).
...
> > Non so quanto viene poich� non ho svolto esplicitamente i calcoli, ma
> > considerando il taglio esponenziale piuttosto violento che compare nella
> > f(v) il risultato che hai fornito mi sembra esagerato.
> Ho ricontrollato e mi sembra del tutto ragionevole.
> Dir� di pi�: se il setto anzich� essere ricollocato nella
> posizione originale fosse ricollocato pi� in l� le
> temperatura sarebbero via via pi� elevate e la stima
> della temperatura richiederebbe il calcolo esplicito di
> integrali gaussiani incompleti, che in questo caso
> particolare, per�, pu� essere evitato.
E' questo il punto che non mi convince.
Nelle formule che ho scritto sopra il risultato contiene appunto integrali
gaussiani incompleti e a priori non mi sembra che si possa approssimarli
estendendo il limite inferiore d'integrazione.
Del resto il calcolo numerico esatto (almeno per chi possiede software
come Mathematica o consimili) non dovrebbe essere troppo complicato da
eseguire.
Quando ho un minuto voglio provare a calcolare l'espressione semplificata
della (2') (quella con l'integrale semplice) con Excel, ma dubito che
otterr� un risultato preciso.
Saluti,
Aleph
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Received on Mon Apr 21 2008 - 12:03:30 CEST