Re: Espansione libera di un gas.

From: Aleph <no_spam_at_no_spam.it>
Date: Mon, 21 Apr 2008 12:03:30 +0200

Tetis ha scritto:

Le espressioni che ho scritto in precedenza contenevano qualche errore,
provo a riscriverle.

La prima che mi fornisce (implicitamente) il tempo dt necessario al
passaggio della frazione eps ( 0 < eps < 1 ; nel nostro caso � eps = 0,1)
nella parte inizialmente vuota del recipiente � la seguente:

eps = INT[0,1]dl[INT[vmin(l,dt), infinito](f(v)*dv)] (1)

dove:
 
l = x/xo con xo lato del recipente (nel nostro caso 10 cm);

vmin(l) = xo*(1-l)/dt velocit� minima necessaria a una particella che si
trova in x ( con 0 < x < xo ) per passare nel secondo recipiente entro il
tempo dt di apertura del dispositivo (dell'ordine del milionesimo di
secondo);

f(v)*dv = probabilit� secondo Maxwell di avere una particella con velocit�
lungo x compresa tra v e v +dv.

Esplicitando f(v) ed eseguendo una sostituzione nella variabile
d'integrazione v la (1) diventa:

eps = (1/sqrt(pi))*INT[0,1]dl[INT[xmin(l,dt),infinito](exp(-x^2)*dx)] (1')

dove xmin = vmin*(m/2kTi)^(1/2) = [xo*(1-l)/dt]*(m/2kTi)^(1/2)

e Ti indica la temperatura iniziale del gas prima dell'azionamento del
setto divisore.

La temperatura finale Tf del gas passato nella parte inizialmente vuota
del recipiente � data da:

Tf = (1/(3*eps))*(m/k)*INT[0,1]dl[INT[vmin(l,dt),infinito](f(v)*v^2*dv)]
(2)

Esplicitando f(v) ed eseguendo una sostituzione nella variabile
d'integrazione v la (2) diventa:

Tf =
(2/sqrt(pi))*(1/(3*eps))*Ti*INT[0,1]dl[INT[xmin(l,dt),infinito](exp(-x^2)*x^2*dx)]
(2')

che si pu� ulteriormente semplificare integrando per parti, giungendo a
un integrale semplice (per brevit� non riporto il risultato).

...
> > Non so quanto viene poich� non ho svolto esplicitamente i calcoli, ma
> > considerando il taglio esponenziale piuttosto violento che compare nella
> > f(v) il risultato che hai fornito mi sembra esagerato.

> Ho ricontrollato e mi sembra del tutto ragionevole.
> Dir� di pi�: se il setto anzich� essere ricollocato nella
> posizione originale fosse ricollocato pi� in l� le
> temperatura sarebbero via via pi� elevate e la stima
> della temperatura richiederebbe il calcolo esplicito di
> integrali gaussiani incompleti, che in questo caso
> particolare, per�, pu� essere evitato.

E' questo il punto che non mi convince.
Nelle formule che ho scritto sopra il risultato contiene appunto integrali
gaussiani incompleti e a priori non mi sembra che si possa approssimarli
estendendo il limite inferiore d'integrazione.

Del resto il calcolo numerico esatto (almeno per chi possiede software
come Mathematica o consimili) non dovrebbe essere troppo complicato da
eseguire.

Quando ho un minuto voglio provare a calcolare l'espressione semplificata
della (2') (quella con l'integrale semplice) con Excel, ma dubito che
otterr� un risultato preciso.

Saluti,
Aleph
 



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Received on Mon Apr 21 2008 - 12:03:30 CEST

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