Re: Per fisici matematici: forme differenziali, dx,dy etc

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Fri, 15 Feb 2008 05:22:03 -0800 (PST)

On Feb 12, 3:37 pm, Pangloss <marco.k..._at_tin.it> wrote:
> [it.scienza.fisica 11 feb 2008] Valter Moretti ha scritto:
>
> > df|_p = somma_i _at_f/_at_x^i|_p dx^i
> > ......
>
> Pur condividendo tutto cio' che hai scritto, condivido anche i dubbi di
> Scarabeo: il rapporto di parentela tra i differenziali tradizionali e le
> 1-forme della geometria differenziale andrebbe chiarito in modo esplicito,
> visto che si tende a scivolare da un'interpretazione del df all'altra.
>
> > Dal punto di vista intuitivo sarebbe molto meglio introdurre prima lo
> > spazio cotangente dei dx^k, notando che quello che si usa nel
> > maneggiare i dx^i e' solo la loro legge di trasformazione lineare che
> > deriva dal trascurare i termini non lineari. Formalmente, questa legge
> > di trasformazione, quando si lavora con trasformazioni di coordinate
> > inveribili e bidifferenziabili, implica che i dx^i si possano pensare
> > come basi vettoriali di oggetti astratti (basi proprio perche' la
> > legge lineare di trasformazione ha determinante non nullo!). Una
> > volta notato questo si potrebbe introdurre lo spazio tangente, quello
> > generato dai _at_/_at_x^k come il duale dello spazio generato dai dx^i.
> > Solo a questo punto uno potrebbe notare che i vettori dello spazio
> > tangente si possono anche interpretare come le componenti di vettori
> > tangenti a curve. Nella realta' si procede in senso inverso...
>
> Mi interessa questa trovata di definire prima lo spazio cotangente e dopo
> lo spazio (coco)tangente. E' un'idea tua?

Ciao, io ci avevo pensato da studente, ma tanti anni fa, poi mi era
sembrato
inutile ed ho piantato tutto.
In ogni caso, basta prima definirli in R^n, poi definirli in carte
locali sulle varieta'
mostrando che la definizionie e' ben posta (indipendente dalla
carta).
Per definirli in R^n, se ricordo bene cominciavo a definire i
differenziali delle
funzioni, e poi le forme. Per i differenziali di funzioni calcolate in
un punto,
bisogna rigorizzare l'idea che si fanno i conti, cambiando coordinate,
"trascurando gli infinitesimi di ordine superiore"...
si finisce a lavorare con delle classi di equivalenza che hanno una
struttura di spazio vettoriale...
Ora dovrei pensarci seriamente per dirti qualcosa di rigoroso e non ho
tempo,
purtroppo...
Ciao, Valter



> Tanto per cominciare, data una varieta' differenziale, come definiresti
> _esattamente_ lo spazio cotangente in un punto P?
>
> --
> Elio Proietti
> Valgioie (TO)

C
Received on Fri Feb 15 2008 - 14:22:03 CET