"calmeplat" ha scritto:
> mi chiedo, nell'ambito del problema dei due corpi (puntiformi), se
> questi hanno masse m1 ed m2 e sono posti inizialmente a distanza Ro e
> con velocit� iniziali nulle, in quanto tempo giungeranno a
> 'collidere' ?
Suppongo che tu voglia trattare un problema di gravitazione...
La terza legge di Keplero si esprime con l'equazione matematica:
G * M = omega^2 * R^3, ove
G e' la costante gravitazionale, M = m1 + m2,
omega = 2 * Pi / T, T e' il periodo del moto,
R^3 il semiasse maggiore dell'orbita ellittica.
Il caso del problema e' quello limite di uno stato legato in
cui la traiettoria del moto si puo approssimare con una ellisse
di eccentricita' tendente a 1- e parametro tendente a 0+,
avente asse maggiore pari a Ro, e possiamo
ancora applicare la terza legge di Keplero,
il tempo di collisione risulta quindi meta' del periodo T:
t_collisione = T /2 = Pi * Sqrt(R^3 / G / M) =
Pi * Sqrt(Ro^3 / 8 / G / M).
Un modo equivalente di risolvere il problema e' applicare
la conservazione dell'energia meccanica,
innanzitutto si riduce il problema a due corpi ad un
problema a un corpo, introducendo la massa ridotta
mu = m1 * m2 / (m1 + m2),
l'energia meccanica e' la somma della energia cinetica
1/2 * mu * v^2, e dell'energia potenziale -G * m1 * m2 / r,
e ha valore costante uguale al valore iniziale -G * m1 * m2 / Ro,
quindi si ottiene:
-G * m1 * m2 / Ro = -G * m1 * m2 / r + 1/2 * mu * v^2,
isolando v si ottiene poi:
v = -dr/dt = Sqrt(2 * G * (1/r - 1/Ro) * M) =>
t_collisione =
Integrale[(2 * G * (1/r - 1/Ro) * M)^-(1/2) dr, da 0 a Ro]
e si ottiene con un po' di pazienza lo stesso risultato di cui sopra.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Mon Jan 28 2008 - 20:37:01 CET