Re: Prodotto tensoriale di spazi Hilbert

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Sat, 19 Jan 2008 12:57:27 -0800 (PST)

On 18 Gen, 13:55, Scarabeo <lapllapazzachestrumpalla..._at_yahoo.com>
wrote:
> Grazie e tutti per le risposte!
>
> Gia' che ci sono vi espongo anche un'altro dubbio riguardante
> l'entanglement e i prodotti tensoriali.
> Come discende dalle vostre definizioni il fatto che alcuni stati
> possono essere fattorizzati ed altri
> invece sono misti? Se ne puo' gia' parlare a livelli cosi' astratti o
> si devono porre delle condizioni
> ulteriori di tipo fisico?


Ciao, dipende molto da cosa vuoi partire per rispondere ad una domanda
di questo genere. Ci sono molte costrizioni che congiurano verso il
prodotto tensoriale. Gi� a livello semiclassico, la funzione d'onda
di una particella si pu� costruire partendo dalla funzione soluzione
dell'equazione di Hamilton Jacobi (vedi per es. il Goldstein di
meccanica aanalitica), che diventa la fase della funzione d'onda nel
limite classico. Quando prendi un sistema di N particelle, la stessa
procedura porta a prendere una soluzione dell'equazione di Hamilton
Jacobi definita sullo spazio delle configurazioni che, in assenza di
vincoli, ha 3N coordinate. Quindi la funzione d'onda ci si aspetta che
sia una funzione di 3N variabili in L^2(R^{3N}). Guarda caso si pu�
dimostrare che
L^2(R^{3N}) = L^2(R^3) tensor ... N volte ... tensor L^2(R^3).

A livello pi� avanzato, non ci sono molte alternative sensate: se uno
ha due particelle, lo spazio degli stasti o � la somma diretta dei due
spazi di Hilbert oppure il prodotto tensoriale. Nel primo caso non ci
sarebbero gli ststi entangled, ma ci sarebbe un problema serie a
livello di osservabili. Ti faccio un esempio.
Ci sono osservabili del sistema complessivo che si ottengono,
classicamante, come il prodotto di osservabili delle singole
particelle. per esempio quando calcoli il momento angolare quadrato
complessivo di due particelle incontri il prodotto J1 J2. Questo come
lo intepreteresti come operatore sullo spazio delgi stati del sistema
complessivo ed usando la somma diretta come spazio degli stati? Il
prodotto classico diventa la composizione di operatori (a meno che tu
non voglia perdere anche questo). Prova e vedi che non riesci a farlo,
perch� i due operatori agiscono su spazi diversi, non li puoi
comporre!
Con il prodotto tensoriale puoi dopo aver ridefinito J1 e J2 come J1
tensor I2 e I1 tensor J2 dove I1 e I2 sono gli operatori identit� sui
corrispondenti spazi di Hilbert. Questi prodotti misti hanno
rilevanza. Per esempio senza di essi non potresti mai trovare il
valore S^2=0 per lo spin complessivo di un sistema di due particelle a
spin 1/2 (che si osserva sperimentalemtne!). E guarda caso, lo stato
corrispondente � entangled.





> Infine, come mai si usa il prodotto tensoriale per modellare i sistemi
> quantistici composti?

vedi sopra

> Perche' nella pratica si e' visto che "funziona cosi'" oppure ci sono
> ragioni piu' profonde.

ripeto, ci sono varie ragioni, sperimentali e teoriche...

> Confesso che mi lascia un po' perplesso che dai vettori di passi ad un
> sistema composto
> descritto da funzioni bilineari su vettori.
>

Non ho capito. Ti riferisci al fatto che per costruire il prodotto
tensoriale uno li pensa come fuzionali multilineari?
Non c' entra niente con la fisica, quella � solo matematica per
costruire un esempio *concreto* di prodotto tensoriale.
Il prodotto tensoriale � definito, in realt�, dalle sole sue
propriet� "manipolatorie". Per esempio

f tensor (ag +gh) = a (f tensor g + f tensor h)
per a,b numeri e f,g, h vettori.

per� per dare davvero una definizione per questa via bisogna sudare.
Si pu� fare, e la trovi su alcuni libri, prendendo quozienti su certi
spazi vettoriali
"liberamente generati", ma diventa abbastanza astratto e ci vuole un
p� di teoria avanzata (teoria delle categorie).
In realt� una strada vale l'altra, perch�, qualunque strada prendi,
c'� un teorema che assicura che tutte le definizioni sono equivalenti
a meno di isomorfismi: � il "teorema di universalit�" (lo trovi sulle
mie dispense), o meglio una sua conseguenza, e prova che la nozione di
prodotto tensoriale � molto profonda ed � radicata a livello di teoria
delle categorie . Pensando (o direi meglio "realizzando") i tensori
come funzionali multilineari, aiuta a concretizzarli su qualcosa di
solido, su cui si lavora senza passi falsi.

> Spero di essere stato chiaro almeno nell'esprimere cio' che non mi e'
> chiaro.
> Ho chiesto queste cose a dei fisici che lavorano con queste cose e ho
> avuto
> la nettissima impressione che sapessero usare questi strumenti, ma non
> avessero
> chiarissimi i concetti sottostanti. Allora mi son detto che forse in
> effetti sono
> delicati e mi sono deciso di approfittare del vostro tempo e della
> vostra cortesia!
>

Ciao, io ho poco tempo ora, ma se rimani su questi argomenti posso
ancora provare a rispondere, visto che ci sto pensando per il prossimo
corso...

> Grazie ancora e quando avete tempo fatemi sapere.
> Ciao.
> Luca

Ciao, Valter
Received on Sat Jan 19 2008 - 21:57:27 CET