Re: Campo elettrico dell'elettrone e meccanica quantistica

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Wed, 15 Aug 2012 21:23:00 +0200

Sergio Rossi ha scritto:
> Consideriamo un elettrone emesso da una qualche sorgente in un dato
> contesto. Dalla meccanica quantistica ricaviamo la sua funzione
> d'onda.
> ...
> Il mio quesito �: come calcolare il campo elettrico dell'elettrone al
> tempo T? E' su questo problema che chiedo il vostro aiuto.
> ...
> Quindi considero ogni regione infinitesima dello spazio e calcolo il
> campo elettrico come se l'elettrone fosse effettivamente all'interno
> di tale regione. Essendo la regione infinitesima, posso ben parlare di
> posizione puntuale dell'elettrone.
> Il campo elettrico cos� calcolato per� lo aggiusto moltiplicandone
> l'intensit� per il modulo al quadrato della funzione d'onda in quella
> regione.
> Ripeto questo calcolo per ogni regione infinitesima e poi eseguo la
> somma (vettoriale) infinita di ogni campo elettrico risultante
> (ovvero, eseguo un integrale).
Insomma, detto in una formula:

E = -e \int dxdydz r/|r|^3 |psi|^2

(E, r sono vettori).
Non ci crederai, ma trovo difficile rispondere alla tua domanda.
Perch� la tua idea da un lato � concettualmente errata, ma da un altro
� del tutto sensata, tanto che � alla base di un famoso metodo
(approssimato) per studiare gli atomi a pi� elettroni, noto come
metodo di Hartree-Fock.
Quindi io dovrei spiegarti da un lato perch� � sbagliata, e
dall'altro come mai allora pu� essere usata per calcoli seri :-)

In realt� i calcoli si fanno col potenziale anzich� col campo, per due
ragioni:
- il potenziale ti d� l'energia d'interazione fra due cariche, e in
m.q. le energie d'interazione sono significative, perch� entrano
direttamente nell'eq. di Schroedinger
- il potenziale � scalare, e perci� i calcoli sono pi� rapidi.
Per il potenziale la formula scritta sopra diventa

V = -e \int dxdydz 1/|r| |psi|^2. (1)

Perch� queste formule sono errate?
O meglio, che significato ha realmente la grandezza cos� calcolata?

Purtroppo qui debbo entrare un po' nelle "viscere" della m.q.; spero
che ti riesca di seguirmi.
Nella m.q. esistono due tipi di enti fisici con corrispettivo
matematico:
- Il primo � lo /stato/ del sistema (della particella) rappresentato
dalla funzione d'onda. Ci sono infiniti stati possibili, che tutti
insieme formano uno spazio vettoriale (di Hilbert).
- Il secondo tipo sono le /osservabili/, ossia tutte le grandezze
fisiche che si possono definire e misurare sul sistema. Queste sono
rappresentate matematicamente da /operatori/ sullo sp. di Hilbert di
cui sopra.

Ora chiediamoci: che cosa � da questo punto di vista il potenziale
elettrostatico generato da un elettrone?
La risposta � facile: si tratta di /un'osservabile/, che dovr� quindi
avere come corrispettivo matematico un /operatore/, non un numero o
una funzione.
E in questo caso scrivere l'espressione dell'operatore � facilissimo:
il potenziale prodotto nel punto (x0,y0,z0) �

V(x0,y0,z0) = -e/sqrt[(x-x0)^2 + (y-y0)^2 + (z-z0)^2]

dove e, x0, y0, z0 sono semplici numeri, mentre x, y, z, sono gli
operatori che rappresentano la posizione dell'elettrone.
Per fortuna si tratta di operatori molto semplici da usare, perch�
applicare per es. x a una f. d'onda psi significa semplicemente
moltiplicare psi per x.
Quindi x, y, z, e anche V si chiamano "operatori moltiplicativi"
(magari queste cose le sapevi benissimo, ma io come faccio a saperlo?)

Ci� detto, che cosa significa la formula (1) ?
Ti do la risposta, che forse capisci subito, o forse no, ma vorrei
evitare una lunga spiegazione magari superflua.
La (1) d� il /valor medio/ (da molti chiamato "valore di
aspettazione", ma � un'espressione che a me non piace) dell'operatore
V.
Ci� significa che se tu avessi molti elettroni (presi uno per volta),
tutti nello stesso stato psi, e misurassi il potenziale in un dato
punto dello spazio, ciascuna misura ti darebbe un valore diverso, ma
la media di questi valori si dovr� avvicinare a (1).

Per questa via si potrebbe arrivare a giustificare il metodo di
hartree-Fock, o meglio a spiegare perch� (specialmente per atomi con
molti elettroni) fornisce il punto di partenza di una discreta
approssimazione della struttura dell'atomo.

Luca85 ha scritto:
> Una cosa che potrebbe interessarti a questo punto � che succede se hai
> due elettroni. Non sommi i campi elettrici dei singoli elettrone ma
> sommi le due funzioni d'onda e solo a quel punto ne fai il modulo al
> quadrato.
Uhmmmm...
Hai scritto una c... grossa come una casa!
Hai visto mai sommare le f. d'onda di due particelle? Pensaci...
Ti do un altro indizio: come sai la f. d'onda � definita a meno di un
fattore di fase, che pu� anche essere -1.
Se cambi il fattore di fase per una particella e non per l'altra, gli
stati restano invariati, ma la somma?
                                           

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Elio Fabri
Received on Wed Aug 15 2012 - 21:23:00 CEST