On 9 Gen, 12:11, Scarabeo <lapllapazzachestrumpalla..._at_yahoo.com>
wrote:
> Ciao a tutti,
> c'� qualcuno che potrebbe spiegarmi che la definizione matematica di
> questo concetto. Ho provato a cercare in rete, ma le spiegazioni
> proposte mi sembrano confuse. Insomma dati H1 e H2 (Hilbert, di
> dimensione n e m rispettivamente) "H1 tensor H2" viene definito in
> termini di "v tensor w" dove v e m appartengono rispettivamente a H1 e
> H2. Ma "v tensor w" come vengono definiti in termini delle strutture
> H1 e H2 originarie? Insomma, "v tensor w" e' o non e' la coppia
> ordinata (v,w) appartenente a H1xH2.
>
> Aiuto!!
>
> Grazie.
> Luca
Ciao, rispondo solo a te, proprio perch� tra poco, nel prossimo
semestre, dovr� tenere lezione su questo genere di cose (mi scuso con
tutti gli altr thread, specie con Bruno Cocciaro, lasciati aperti
anche su free.it.scienza.fisica, ma non no pi� tempo).
Allora, la definizione di prodotto tensoriale di due spazi vettoriali
la puoi dare come segue, � un p� contorta, cerca di seguire fino in
fondo. Ti faccio la versione semplificata tenendo conto che i due
spazi sono di Hilbert per cui sono isomorfi ai loro duali per il
teroema di Riesz altrimenti, con meno struttura, bisogna faticare un
p� di pi�
(vedi le mie dispense su
http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html:
Multi-Linear Algebra and Tensor Calculus in Mathematical Physics with
Applications to Special Relativity)
Per prima cosa bisogna introdurre i funzionali multilineari. Considera
ora H1 e H2 e l'insieme dei funzionali BI-lineari da H1x H2 in C
Quindi si tratta di tutte le funzioni definite sul prodotto cartesiano
di H1 e H2 a valori in C che siano lineari, separatamente, in ciascuno
dei due argomenti. Indichiamo con L(H1,H2) questo insieme di
funzionali bilineari. Per definizione F in L(H1,H2) soddisfa
F: H1 xH2 -> C,
F(af+bg,h) = aF(f,h) + bF(g,h),
F(h,af+bg,) = aF(h,f) + bF(h,g)
Lo spazio L(H1,H2) e' a sua volta uno spazio vettoriale su C se
definisci le combinazioni lineari di funzionali F e G in L(H1,H2) nel
modo ovvio
(aF+bG) (f,h) := aF(f,h) + bG(f,h).
L(H1,H2) ha elementi privilegiati, i prodotti tensoriali, costruiti
come segue usando elementi di f in H1 e g in H2
f tensor g : (k,h) |-> <f|k> <g|h>
< | > � il prodotto scalare. Puoi verificare che f tensor g � davvero
un elemento di L(H1,H2), dalle propriet� di linearit� a destra del
prodotto scalare.
Quindi f tensor g � individuato dalla coppia ordinata (f,g), ma NON �
la semplice coppia ordinata (f,g), � qualcosa di pi� complicato: un
funzionale bilineare su H1 x H2. Andiamo avanti
Il sottospazio *generato* da tutti gli elementi f tensor g in
L(H1,H2), al variare di f in H1 e g in H2, si chiama *spazio prodotto
tensoriale ALGEBRICO* di H1 e H2, che indicher� con
H1 atensor H2
ed i suoi elementi sono detti *tensori*.
Nota bene che gli elementi di H1 atensor H2 non sono semplici
elementi del tipo f tensor g ma COMBINAZIONI LINEARI di tali
elementi.
Questo � fondamentale in meccanica quantistica, perch� implementa il
principio di sovrapposizione degli stati
(per questo motivo si usa il prodotto tensoriale...).
H1 atensor H2 NON � ancora uno spazio di Hilbert, e per fare la
meccanica quantistica lo deve essere, allora bisogna ancora raffinare
la definizione, passando al prodotto tensoriale HILBERTIANO di H1 e
H2, che � quello, immagino, che interessi a te. E' abbastanza
semplice.
Su H1 atensor H2 si mette un prodotto scalare indotto da quelli di H2
e H2 e definito in due passi come segue.
1) Per prodotti tensoriali semplici f tensor g e h tensor k, se <|>_1
e <|>_2 sono i prodotti scalari in H1 e H2 rispett:
< f tensor g | h tensor k > := <f|h>_1 <g|k>_2 (prod scalar)
2) Si estende per sesqui-linearit� la definizione data sopra a
combinazioni lineari finite di prodotti tensoriali semplici. Es
< a f tensor g + b h tensor k | p tensor q > : = a*< f tensor g | p
tensor q > + b*< h tensor k | p tensor q >
dove * � il complesso coiniugato...La stessa cosa si fa con
l'argomento di destra senza coniugazione complessa...
Si dimostra (non � banalissimo, ci vuole un teorema di universalit�)
che c'� un unica forma sesquilineare su H1 atensor H2 che soddisfa le
richieste, e questa forma sesquilineare � definita positiva, per cui �
un prodotto scalare hermitiano
< | > su H1 atensor H2, l'unico, che soddisfa la rischiesta (prod
scalar).
A questo punto il gioco � fatto: si prende il completamento di H1
atensor H2 rispetto alla norma associata a < | > e questo spazio
di Hilbert �, per definizione, il prodotto tensoriale hilbertiano di
H1 e H2 e si indica con H1 tensor H2.
In definitiva H1 tensor H2 � composto di combinazioni lineari *in
generale infinite* di prodotti tensoriali elementari f tensor g. La
nozione di convergenza da usare � quella definita dal prodotto scalare
< | >. E' abbastanza intuitivo che se {u_i} e {v_j} sono basi
hilbertiane (sistemi ortonormali completi) di H1 e H2 rispettivamente,
tutti gli elementi u_i tensor v_j, al variare di i e j in tutti i modi
possibili, formano una base hilbertiana di H1 tensor H2.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Sun Jan 13 2008 - 13:19:01 CET