Re: Dubbi sui quadrivettori, in particolare il quadripotenziale

From: <b.bellazzini_at_gmail.com>
Date: Sat, 5 Jan 2008 02:12:14 -0800 (PST)

On 3 Gen, 22:19, Llewlyn <Tommaso.Biancal..._at_gmail.com> wrote:
> Grazie tantissimo ai risponditori.
> Dunque a quanto ho capito il potenziale vettore � un 4vettore in
> qualsiasi gauge mi ponga. Dicendolo meglio, e usando la notazione di
> Giorgio Bibbiani, fissata una f, A'_(mu) = A_(mu) + f_(,mu) � un
> quadrivettore. Per dimostrarlo basta scrivere l'equazione + generale
> possibile (copio dal reply di Elio Fabri):
>
> d^a d_a A^b - d^b d^a A^a = j^b
>
> assumere che valga in un altro riferimento inerziale, scrivere la j^b
> nell'altro riferimento, da l� ricavare che A � soluzione se e solo se
> si trasforma con Lorentz. Quindi � un 4vettore.
> Questo per� non significa che se sono in gauge di Coulomb resti in
> quella gauge cambiando riferimento (cosa che invece accade con
> Lorentz). Questo perch� poich� la condizione di gauge
> divergenza_spaziale A = 0 non � invariante con Lorentz la nuova
> divergenza sar� diversa da 0.
>
> Ho capito bene?
>
> Ll.

Secondo me hai capito bene una risposta che pero' non condivido.
Provo a estendere quanto ho gia' scritto.

L'equazione che scrivi con Elio Fabri

> d^a d_a A^b - d^b d^a A^a = j^b

puoi vederla come l'azione di un operatore lineare

O^b_a=g^b_a d^c d_c -- d^b d_a

che agisce su A^a:

O^b_a A^a=j^b o in breve OA=j

dove sono sottintesi tutti gli indici e le contrazioni.
Se il membro di destra e un 4vett lo e' anche quello di sinistra cioe'
sotto Lorentz

OA va in (OA)'=O'A'=XOA
j va in j'=Xj

con X matrice 4x4 invertibile (chiamo Y l'inversa) del gruppo di
Lorentz e

O'=XOY

Ovvero e' OA ad essere un 4vett: questo implica che allora anche A lo
e'?
Cioe' posta la legge di trasformazione
(OA)'=XOA allora segue che A'=XA?
Elaborando la trasformazione sopra si trova che

OYA'=OA.

E' dunque evidente che essendo O non invertibile
(ha un kernel non banale fatto di derivate totali, cioe' Odf=0)
non si puo' concludere che YA'=A cioe' A'=XA.
Si puo' invece concludere che (YA-A) sta nel Kernel di O e cioe' che

YA'-A=df

per una qualche f, ovvero che

A'=XA+d'g

con d'g=Xdf.

Insomma, direi piuttosto che il risultato e' che A si trasforma
come un quadrivettore a meno di trasformazioni di gauge.
Questo in particolare dice che in generale la scelta della gauge
non viene mantenuta cambinado sistema di rif.
Inoltre vorrei far notare che Weinberg nel suo libro (vol1, cap5)
mostra che i campi di particelle a massa nulla
e spin 1 trasformano necessariamente sotto la rappresentazione
vettoriale di Lorentz a meno di una gauge e che quindi gli
accoppiamemti di tali campi dovranno essere gauge-invarianti: una
sorta di motivazione della necessita' di avere teorie di gauge
realizzate in natura.
Ciao.
Received on Sat Jan 05 2008 - 11:12:14 CET