Il 04 Gen 2008, 18:20, argo <brandobellazzini_at_supereva.it> ha scritto:
> Sono interessato alle rappresentazioni di SU(2)xU(1).
> Sono date dal prodotto tensore delle rappresentazioni di SU(2)
> (che si possono classificare tramite lo ''spin'' j con j semintero o
> intero) e quelle di U(1) della forma exp[iaY] dove a e' reale in
> [0,2pi) e Y e' il generatore di u(1).
No, a deve essere multiplo intero di 2pi. Anche perch�
se no la carica non sarebbe quantizzata.
> Dunque una rappresentazione di SU(2)xU(1) ha due numeri indipendenti
> che la identificano j ed a
>
> E di U(2) che cosa possiamo dire? Siccome ogni trasformazione di U(2)
> si puo' scrivere come fase*trasformazione di SU(2) direi che U(2) e
> SU(2) sono isomorfi.
Volevi scrivere che SU(2) x U(1) ed U(2) sono isomorfi, ma
in verit� dovresti dimostrare che U(2) ha la stessa topologia
di SU(2) x U(1) che � un fibrato banale. In verit� � immediato
riconoscere che un esponenziale di s_3 genera -s_3 che
coincide con s_3 x (-1) quindi c'� una ridondanza, ovvero
SU(2) x U(1) contiene due copie di U(2). Ed U(2) si ottiene
quozientando SU(2) x U(1) con Z2. Per l'esattezza (x,y) = (-x,-y).
Poich� SU(2) � semplicemente connesso ed U(1) ha gruppo
fondamentale Z il gruppo fondamentale di U(2) � Z/Z_2. Questo
diventa il gruppo di classificazione delle rappresentazioni a cui
si deve il vincolo di parit�. D'altra parte il problema della identit� degli
opposti
si ha per tutte le rappresentazioni di spin semintero di SU(2), non invece
per le rappresentazioni di spin intero, ma questo non � un buon modo
per capire la situazione. Meglio ragionare sull'algebra e la condizione
di chiusura degli inviluppi a livello di U(2), piuttosto che delle due
sottoalgebre
locali.
> Questo mi farebbe concludere dunque che anche le rappresentazioni di
> U(2) sono classificate da j ed a indipendenti.
>
> Invece leggo sul Gilmore (libro di gruppi e algebre di lie, al cap5)
> che le rappresentazioni di U(2) sono indentificate da due numeri non
> indipendenti j ed a (sempre definiti nel dominio di cui sopra) tali
> che
> (-1)^[2j+a]=1.
> E inoltre conclude che da questo si tira fuori la relazione
> Q=T^3+Y che lega l'ipercarica Y e la carica elettrica Q.
Dunque U(2) sarebbe una simmetria che si splitta in
simmetria di isospin (oltretutto non esatta) e simmetria
di gauge? Dirac ci vedeva le stringhe in questo discorso
se non ricordo male, pensando ad un altro gruppo U(2)
quello delle equazioni di Maxwell. In un certo senso puoi
immaginare U(2) come S^3 in cui i punti antipodali sono
collegati da una linea parametrizzata dai numeri complessi.
Non � esattamente cos� che stanno le cose, ma puoi utilizzare
come ausilio il seguente: immagina che al posto di SU(2)
ci fosse stato U(1). Considera allora la coppia di numeri
complessi (z1, z2) unitari, che parametrizzano un toro T^2
cosa comporta l'identificazione dei puni (z1, z2) e (-z1,-z2)?
a livello di topologia? E di rappresentazioni?
> Qualcuno puo' fare luce?
> Grazie.
Scusami, ma pi� semplicemente di cos�, purtroppo
non mi so spiegare la questione.
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Received on Sat Jan 05 2008 - 18:34:58 CET