On 16 Ott, 19:00, p..._at_libero.it (popinga) wrote:
> Il 16 Ott 2007, 09:48, Valter Moretti <vmoret..._at_hotmail.com> ha scritto:
>
> > > Esiste una formulazione quantistica del teorema di Noether?
>
> > > Se si come si pu� formulare? Dimostrazione?
> > Ciao, del teorema di Noether vero e proprio no, visto che � dato in
> > formulazione lagrangiana.
>
> Sei sicuro? Ricordavo che il teorema originale della Noether riguardasse
> sistemi differenziali e integrali primi, senza riferimenti a sistemi fisici.
>
Ciao, quello che oggi si chiama "teorema di Noether" � il
rimaneggiamento lagrangiano da parte di Wigner del lavoro originale di
Emmy Noether.
> > Devi prima passare in quella hamiltoniana. A
> > quel punto puoi generalizzarlo.
>
> Domanda forse banale: lagrangiana e hamiltoniana ammettono sempre le stesse
> simmetrie?
Si tratta di una domanda molto spinosa. Una volta assegnata una
lagrangiana non degenere,
la formulazione di Hamilton e quella di Lagrange sono *completamente
equivalenti* anche se gli ambienti sono diversi (sono due jet bundles
differenti, assomigliano un p� alla differenza che c'� tra spazio
tengente e spazio cotangente). Pertanto le simmetrie di una teoria le
puoi riscrivere nell'altra e viceversa. Bisogna stare attenti a non
intepretare ci� come se si dicesse che se la lagrangiana � invariante
(cio� non cambia) sotto un certo gruppo di trasf allora lo � anche
l'hamiltoniana, questo � falso. Il punto � che la formulazione della
nozione di "simmetria" � differente nei due linguaggi.
C'� un altro punto psicologicamente importante.
In meccanica lagrangiana, nelle formulazioni pi� elementari, si usano
simmetrie che sono solo di "natura geometrica". Cio�, detto alla
buona, sono trasformazioni nello spazio delle q (che si estendono in
modo ovvio al mondo delle q puntate), ma non "mischiano" le q e q
puntate.
Nella formulazione di Hamilton il ruolo delle p e delle q � molto pi�
interscambiabile gi� a partire dalla forma delle equazioni di
Hamilton, ed � naturale considerare trasformazioni che mischiano le p
e le q (queste si chiamano "simmetrie dinamiche"). In realt� � solo un
difetto di prospettiva e le simmetrie dinamiche le puoi tradurre nel
mondo lagrangiano ottenendo delle trasformazioni che mischiano le q e
le q puntate e che sembrano un p� innaturali (ma per esempio in questo
modo il teorema di Noether spiega anche la conservazione del vettore
di Runge-Lenz nel moto in potenziale coulombiano attrattivo)...
La meccanica quantistica elementare per� ha una formulazione che �
molto legata alla formulazione di Hamilton classica piuttosto che a
quella di Lagrange. Se non altro perch� il formalismo con i
commutatori � molto simile a quello che si ha con le parentesi di
Poisson in meccanica hamiltoniana classica.
Ciao, Valter
PS. Io insegno un p� di queste cose a lezione... C'� qualcosa nel cap
8 (sez 8.5 per la formulazione avanzata) e nel capitolo 10 delle mie
dispense di meccanica analitica su
http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
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Received on Wed Oct 17 2007 - 13:29:28 CEST