Il 12 Set 2007, 15:26, Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
> Devi avere due gruppi A e B e poi una classe {L_b}_{b in B} di
> isomorfismi gruppali
>
> L_b : A -> A
>
> etichettata su b in B, in modo da definire una rappresentazione di B
> su A, cio� in modo che valga
>
> L_b L_b' = L_{bb'}
Quindi la classe L_b da quanti elementi � fatta? Tutti gli elementi del
gruppo B?
> Si definisce allora, sul prodotto cartesiano A x B la struttura di
> gruppo tramite il prodotto:
>
> (a,b) (a',b') := (a L_b(a'), bb' )
Ma che razza di prodotto � mai questo?? L_b(a') � la classe degli
isomorfismi di A etichettati dagli elementi di B, per� a' cosa c'entra??
> Nel caso in esame il gruppo delle isometrie del piano E_2 �
> individuato da tutte le coppie
> (T, R)
> dove T � una traslazione, cio� un elemento del gruppo abeliano R^2 e R
> una rotazione, cio� un elemento di O(2) rispetto a qualche origine
> (fissata) del piano. In questo caso, semplicemente
>
> L_R = R
>
> e quindi il prodotto che individua la struttura di prodotto
> semidiretto (notare che conta l'ordine dei fattori) �:
>
> (T,R) (T', R') = (T + RT', RR') (1)
Perch� TL_R (T') = T + RT' ?? Scusa questo � il punto centrale che non
riesco a capire.
> Si. L'applicazione che associa ad ogni isometria, cio� elemento di
> E_2, (T,R), la rotazione R di O(2)
>
> (T,R) |-> R
>
> � sicuramente un omomorfismo suriettivo per la (1) (la struttura di
> gruppo � banalmente conservata e questo accade per ogni prodotto
> semidiretto...)
> Tutto questo � come sparare ad una mosca con un cannone :-)
>
> >In generale come si fa a dimostrare se due
> > gruppi sono o meno omomorfi?? Come si fa a capire se la struttura del
gruppo
> > � conservata?
>
> in generale bisogna indovinare qualche possibile omomorfismo e farsi i
> calcoli!
Cio� che tipo di calcoli?? Si tratta di capire in ogni caso come � fatto L_b
vero?? Questo pu� cambiare ogni volta.
> PS. Mi spiace non dire di pi� e non poter intervenire nella
> discussione che ormai ha preso la tangente, ma sono troppo occupato.
Ti ringrazio tantissimo per questa risposta. Sai che Ryders non sapeva
nemmeno perch� ci fosse questo omomorfismo? Ed � uno che si occupa degli
aspetti geometrici della fisica delle particelle nonch� collaboratore di
Peter Higgs. Ha fatto la tesi di dottorato con Higgs. Ora posso dire che ne
sai pi� di lui!!! Sei veramente un grande!! Ma perch� non scrivi un libro su
questi argomenti applicati alla fisica?? O ce ne sono gi� in letteratura? Io
ho fotocopiato lo sternberg, pensi che ci siano queste cose??
Tantissime grazie per questi tuoi preziosi interventi!!
Filiberto
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Received on Sun Sep 16 2007 - 16:20:58 CEST