Scrivevo ieri:
> Tuttavia stanotte ci ho meditato un po' per conto mio e credo di avere
> capito come funziona il gioco della complessificazione.
> Pero' ora sono troppo stanco per provare a spiegarlo _come si deve_.
> Vediamo domani...
Ci provo.
Partiamo dall'algebra di Lie A di un gruppo di Lie, che come si sa e'
prima di tutto uno spazio vettoriale sui reali (la struttura [.,.] nel
seguito avra' pochissimo ruolo).
Sia {e_i} una base di A (mi limito a dimensione finita).
La complessificazione A^c di A non e' che lo sp. vett. su C generato
dalla stessa base {e_i}.
E' facile dimostrare che cambiando base si ottiene sempr4e lo stesso
spazio.
A^c rimane ancora un'algebra di Lie, con [.,.] definito per linearita'
a partire dalla base.
Due diverse algebre, A e A', possono avere complessificazioni tra loro
isomorfe, quindi astrattamente *la stessa* complessificazione.
E' questo per es. il caso di so(4) e sl(2,C).
In altre parole, A^c puo' essere ristretta ad algebra reale in piu' di
un modo (ovviamente con basi diverse, che non sono connesse da comb.
lineari *reali*).
Rappresentazione di un'algebra di Lie si definisce al solito modo:
essenzialmente come omomorfismo f da A dentro l'algebra degli
endomorfismi di uno spazio vettoriale V (a noi interessa complesso).
La rappr. e' irriducibile se f(A) non ha sottospazi invarianti propri
in V.
Ed ecco il punto: se f e' una rappr. irr. di A su V, la sua estensione
ad A^c (ovvia) *e' ancora irriducibile* (ovvio anche questo).
Meno ovvio che sia vero anche il viceversa: se f e' una rappr. irr. di
A^c, essa e' anche rappr. irr. di *ogni* algebra reale contenuta in
A^c.
Nel nostro esempio, da cio' discende che le rappr. irr. di sl(2,C)
sono le stesse di so(4).
Vi torna?
Certamente non ho detto niente di nuovo (ci mancherebbe :-) ) ma
almeno ho messo in ordine cose che avevo insegnato oltre 40 anni fa,
senza averle capite per bene :-))
--
Elio Fabri
Received on Sat Sep 08 2007 - 20:04:38 CEST