SL(2,C) e Lorentz gruop secondo sketch

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Thu, 06 Sep 2007 13:36:09 GMT

    Non ho ancora guardato il Fulton Harris, ma il Cornwell suggerisce
questa strategia esplicativa per l'uso di SU(2) x SU(2) come base per
la costruzione delle rappresentazioni finito dimensionali di SO(3,1)+.

Dopo avere osservato che esiste un omomorfimo da SL(2,C) � il
rivestimento universale di SO(3,1)+ e che i generatori di SO(3,1)+
possono essere arrangiati come sappiamo, mediante combinazioni
complesse in su(2) + su(2) osserva che dalle rappresentezioni della
complessificazione di quest'algebra, che risulta in sl(2,C) + sl(2,C)
� possibile costruire le rappresentazioni della sottoalgebra isomorfa
ad SL(3,1)+. E spiega come fare a partire dalle due rappresentazioni
inequivalenti di sl(2,C).

A questo punto diventa anche trasparente la logica dei teoremi
che B.C. Hall enuncia sulle rappresentazioni di un gruppo semplicemente
connesso, SL(2,C) a partire dalle rappresentazioni di una forma
reale compatta della sua algebra, per sl(2,C) la forma reale compatta
� su(2).

Tornando poi alle algebre di Clifford risulta un risultato
un poco pi� generale che ricorda quella procedura riassunta da Filberto
a proposito del modo di procedere di Ryder.

Se consideriamo il gruppo di Spin_3,1 (rivestimento universale di
SO(3,1)) e ne consideriamo la componente che contiene l'unit�
e la indichiamo Spin^0_3,1 abbiamo Spin_3,1 isomorfo ad SL(2,C),
ma se consideriamo Spin_3,1 abbiamo Spin_3,1 isomorfo ad
SL*(2,C) dove l'asterisco indica che il determinante delle matrici
pu� essere 1 oppure -1.

Inoltre l'algebra di Clifford Cl_3,1 � isomorfa a Cl_0,4, Ovvero l'algebra
delle matrici di Dirac e l'algebra di R^4 sono isomorfe. Questo � un
risultato in vero piuttosto importante che d� la vera misura del perch�
sia tanto importante studiare le rappresentazioni unitarie finito
dimensionali
del gruppo di Lorentz, specie in rapporto all'equazione di Dirac.

E' questo risultato in particolare, che pu� ingenerare la confusione
che abbiamo constatato e frasi come "SO(3,1) � allora essenzialmente
SU(2) x SU(2) " quello che � vero � che studiando il gruppo di Spin
di Cl_0,4 studiamo di fatto il gruppo di spin di Cl_3,1. Quindi studiando
SU(2) x SU(2) studiamo il gruppo di spin SO(3,1).

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Received on Thu Sep 06 2007 - 15:36:09 CEST

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