On 10 Ago, 21:18, bohemian7..._at_yahoo.it wrote:
> Salve a tutti mi chiamo Antonio. Per aiutare la vostra discussione vi
> dico che il libro indicato da Filiberto �
> "Quantum field theory" di Lewis H. Ryder. Effettivamente parla sempre
> di O(3).
> A questo punto sarei anch'io molto curioso di sapere perch� nel libro
> di cui sopra viene indicato O(3) quando ho sempre sentito SO(3).
> Si tratta di omorfismo perch� la relazione di commutazione tra i
> generatori dei due gruppi � la stessa?
> Perch� non � un omeomorfismo?
>
> Falabella Antonio
OK, facciamo un p� di chiarezza su tutta questa questione.
Prendiamo due gruppi di Lie G e G' supponiamo che i due gruppi di Lie
* abbiano *la stessa* algebra di Lie g=g', pi� precisamente
assumiamo che esista un isomorfismo di algebre di lie f : g -> g'.
(In pratica, supponiamo che nell'algebra di Lie di G esistano N
generatori X1,...,XN con
[Xi,Xj] = Cij^k Xk (somma sugli indici ripetuti)
e che
nell'algenra di Lie di G' esistano N generatori X'1,...,X'N con
[X'i,X'j] = Cij^k X'k
per cui le costanti di struttura Cij^k sono *le stesse* per i due
gruppi, e quindi l'unica applicazione lineare f : g -> g' individuata
da
f(Xi) = X'i � un isomorfismo di algebre di Lie. Viceversa se esiste un
isomorfismo di algebre di Lie si possono sempre trovare delle basi
nelle
due algebre di lie in modo da avere le stesse costanti di struttura.)
L'esempio tipico � G = SO(3) e G' = SU(2). I generatori sono
rispettivamente le tre matrici che generano le rotazioni attorno agli
assi S1,S2, S3
e le tre matrici di Pauli (con un coefficiente mi pare dato da i/2).
Le costanti di struttura sono in questo caso date dal simbolo di Ricci
epsilon_ijk
completamente antisimmetrico. Se allarghiamo SO(3) a O(3), il gruppo
ottenuto cessa di essere connesso, ma l'algebra di Lie rimane *la
stessa* (la parte aggiunta a SO(3) per formare O(3) NON contine
l'dentit�), per cui non � fondamentale parlare di SO(3) invece che di
O(3), anche se i
risultati pi� fini si ottengono scegliendo SO(3) come dir� sotto.
Esiste un teorema generale, dovuto a Lie, che dice che quando le
algebre di lie g e g' sono isomorfe secondo f, esiste anche un
diffeomorfismo
*locale* F da un intorno dell'indentit� J di G ad un intorno
dell'identit� di J' di G', che conserva la struttura (locale) di
gruppo. F � unicamente individuato dalla richiesta che l'applicazione
che F : J ->J' induce tra le algebre di Lie coincide proprio con f :
g->g' assunta esistere.
F � quindi un OMEOMORFISMO locale perch� � differenziabile con
inversa differenziabile e quindi, a maggior ragione
continuo con inversa continua,
F � anche OMOMORFISMO gruppale locale perch� conserva la struttura di
gruppo. Dato che � invertibile � pi� precisamente
ISOMORFISMO locale gruppale.
Quel "locale" ha un'importanza centrale. Come detto significa che
F � definito in un intorno J (aperto, sufficientemente piccolo)
dell'identit� di G e la sua immagine � un analogo intorno J' (aperto,
sufficientemente piccolo) dell'identit� di G'.
La propriet� di omomorfismo � quindi subordinata a tale richiesta: se
a e b appartengono a J, l'identit�, allora F(ab) = F(a)F(b)
vale solo se F(a) e F(b) appartengono al corrispondente J'.
Nel caso in esame esiste dunque un diffeomorfismo locale F: J_SU(2) ->
J_SO(3). Questo si ottiene con varie procedure (come detto da Elio e
Tetis) oppure usando noti teoremi di decomposizione gruppale...
Nel caso in esame ci si pu� chiedere se F si possa estendere su
*tutto* SU(2) e che cosa succeda alla sua immagine SO(3). La risposta
� positiva F si estende unicamente ad un omomorfismo (globale)
gruppale differenziabile F: SU(2) -> SO(3) e che, come abbiamo gi�
visto, si riduce ad un diffeomorfismo ed isomorfismo gruppale locale
nell'intorno J_SU(2) dell'identit�.
In pratica ad ogni matrice di U(2) si associa una matrice di SO(3) e
questa associazione � un omomorfismo differenziabile suriettivo.
Non � biettivo dato che se U � in SU(2), vale F(U) = F(-U).
(In realt� la possibilit� di tale estensione globale di F � pi�
generale e deriva dal fatto che SU(2) � connesso ed � il
"rivestimento universale" del gruppo di Lie connesso SO(3)...ma non
entro in questi dettagli ora)
Torniamo, per finire alla questione di O(3) vs SO(3). Come ha detto
Elio O(3) = SO(3) U PSO(3), dove P � l'inversione di parit�
diag(-1,-1,-1) e quindi PSO(3) contiene tutte e sole le matrici di
rotazione a determinante -1.
In realt� SO(3) e PSO(3) sono le due componenti connesse di O(3): il
gruppo � decomposto in questi due sottoinsiemi disgiunti e sconnessi
SO(3) e PSO(3). L'identit� di O(3) pu� solo appartenere ad uno di
essi: SO(3) (pertanto PSO(3) NON � un sottogruppo). Come conseguenza
l'algebra di Lie di O(3) e quella di SO(3) sono la stessa e quasi
tutto quanto detto sopra si pu� riformulare per O(3) al posto di
SO(3). Sicuramente l'esistenza di F definito localmente vale ancora
banalmente, dato che nell'intorno dell'identit� SO(3) e O(3) sono la
stessa cosa.
L' omomorfismo (globale) gruppale differenziabile F: SU(2) -> SO(3)
pu� anche vedersi come un omomorfismo (globale) gruppale
differenziabile F: SU(2) -> O(3). Quello che si perde, con questa
estensione del codominio, � che l'omomorfismo F cessa di essere
suriettivo, in quanto la sua immagine NON contiene alcuna matrice di
O(3) con determinante negativo.
* i gruppi di Lie sono variet� differenziabili e quindi anche
topologiche, dotate di struttira di gruppo, in modo tale che le
operazioni di gruppo siano differenziabili. L'algebra di Lie g di un
gruppo di Lie G � lo spazio tangente all'identit� del gruppo dotata
dell'applicazione commutatore
[ .,. ] : gxg -> g individuata in modo canonico dalla struttura di
gruppo di Lie.
Ciao, Valter
PS. Sul Ryder ho studiato 15 anni fa, era abbastanza bello, ma
contiene diverse imprecisioni...
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Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Sun Aug 12 2007 - 15:22:58 CEST