Re: Invariante di lorentz d^3 k / omega (?)

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Mon, 13 Aug 2007 08:24:45 -0700

On 13 Ago, 12:46, Valter Moretti <vmoret..._at_hotmail.com> wrote:
> On 13 Ago, 10:44, argo <brandobellazz..._at_supereva.it> wrote:
>
>
>
> > On 11 Ago, 20:02, "davide_fio..._at_nospam.yahoo.it"
>
> > <davide.fio..._at_gmail.com> wrote:
>
> > > Se ho capito bene, questo vuol dire che il "volume" dk_1 x dk_2 x
> > > dk3 / k_0 attorno al vettore d'onda (k_0, k_1, k_2, k_3) � invariante.
>
> > > Non sono riuscito a dimostrare la cosa, che anzi cos� com'� non mi
> > > sembra vera!
>
> > Se con k0 intendi k0=sqrt[k1^2+k2^2+k3^2] allora hai l'identita' (con
> > un certo abusio di notazione)
>
> > d^3k / k_0 = 2 d^4k delta(k^2-m^2)theta(k0)
>
> > dove delta(x) e' la delta di Dirac, la theta(x) e' la funzione
> > ''segno'' di Heaviside e k^2=k0^2-k1^2+k2^2+k3^2.
> > Il mebro di destra e' invariante perche' d^4k trasforma con lo
> > Jacobiano che e' uno in Lorentz,
> > k^2-m^2 e' invariante perche' ' un modulo quadro, la theta e'
> > sensibile solo al segno di k0 e
> > quello non viene cambiato per boost.
> > Ciao.
>
> C'� anche un altro modo pi� semplice: ogni trasf. di Lorentz � il
> prodotto di due rotazioni nello spazio a 3d con in mezzo una trasf.
> speciale di Lorentz lungo l'asse z. Le 3-rotazioni lasciano banalmente
> invariante la misura dk^1dk^2dk^3 ma anche k0=sqrt[k1^2+k2^2+k3^2] che
> � invariante per rotazioni per costruzione. La trasformazione speciale
> di Lorentz altera dk^3 e k^0 dello stesso fattore come si prova
> immediatamente, lasciando dk^1dk^2 invarianti, per cui d^3k / k_0
> rimane invariato.
>
> Ciao, Valter

Non � proprio semplicissimo come ricordavo. Per tale motivo riporto i
calcoli che mi sono rifatto esplicitamente.
Poniamo, mettendo anche una massa m (che nel caso in esame si sceglie
nulla) per avere una dimostrazione del tutto generale valida
anche per particelle con massa,

   k0 = (k1^2 + k2^2 + k3^2 + m^2)^(1/2) (0)

 La misura invariante per il gruppo di Lorentz ortocrono O(1,3)^
[cio� che non inverte l'ordine temporale]) �

  dmu := dk1 dk2 dk3 / k0

Mostriamo tale invarianza. Come dicevo se L � in O(1,3)^ , allora
esistono due matrici di rotazione spaziali R,R' in SO(3), pensate
come
trasformazioni di Lorentz che agiscono come l'identit� sull'asse
temporale, ed una trasformazione speciale di Lorentz lungo l'asse z,
L_z, per cui

      L = R L_z R'

L'invarianza della misura dmu sotto l'azione di R e R' � ovvia (dato
che la misura di Lebesgue dk1 dk2 dk3 � invariente per rotazioni e K0
� uno scalare sotto rotazioni). Rimane da provare che la misura �
invariante anche sotto L_z e questo completa la dimostrazione
componendo le tre invarianze ottenute. Come sappiamo L_z si scrive
come

 c 1 1 s
 0 1 0 0
 0 0 1 0
 s 0 0 c

dove c = cosh a e s = sinh a per qualche numero reale a.
Sotto l'azione di L_z si trova

k0 -> k'0 = c k0 + s k3 (1)
k1 -> k'1 = k1
k2 -> k'2 = k2
k3 -> k'3 = s k0 + c k3 (2)

da queste abbiamo che dk1=dk'1 e dk2 = dk'2. Inoltre (2) implica che


       dk'3 = (s dk0/dk3 + c) dk3 = (s k3 + c k0) dk3/k0
(3)

dove abbiamo tenuto conto di (0) nel calcolo di dk0/dk3.


In definitiva, usando (1) e (3) si trova


dk'1 dk'2 dk'3 / k'0 = dk1 dk2 dk'3 / k'0 = dk1 dk2 [(c k0 + s
k3) dk3/k0] / (c k0 + s k3) = dk1 dk2 dk3 / k0


QED

Ciao, Valter


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Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Mon Aug 13 2007 - 17:24:45 CEST

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