Re: esame fisica 1

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: Wed, 08 Aug 2007 04:14:53 -0700

On 7 Ago, 11:47, aeroguns..._at_hotmail.com wrote:
> durante l'ultimo esame d fisica mi � stato consegnato un problema che
> tuttora... a un mese d distanza non riesco a risolvere... il problema
> e questo...
>
> ho un recipiente che e riempito fino all' orlo, vi e un foro alla base
> che fa fluire l'acqua scoprire in quanto tempo si svuota
> si considerino note le dimensioni del recipiente e del foro
>

Ti abbiamo gia risposo io e Dalet in fisf nelle ipotesi (non dette per
la verita')
che la pressione sull'acqua all'orlo Ps fosse la stess di quella fuori
Pa e che la superficie
F del foro fosse molto piu'piccola della superficie S dell'orlo
(inoltre supposta costante).

In caso si rimuovano questi vincoli e richiedendo che la sezione dl
recipiente possa cambiare con l'altezza

S=S(h)

 avrai che l'equazione che governa il tutto (usando bernoulli e l'eq.
di continuita') e'

h'(t)=-F/S(h) sqrt[(2gh-2(Pa-Ps)/rho)/(1-F^2/S^2)]

dove h'(t) e' la derivata temporale dell'altezza del fluido h(t) e
rho e' la densitya' dell'acqua. Tale equazione
 ovviamente si riduce alla precedente se F^2/S^2 e' tyracurabile,
Pa=Ps e le sezioni del fluido S(h) sono costanti.
Nota che h' si annulla per una certa altezza

h*=(Pa-Ps/grho)

in cui il liquido si arresta e smette di scendere se (Pa-Ps) e'
positivo.

Dopo aver risolto l'equazione differenziale (con dato iniziale
sull'altezza del fluido h(0)=h0)
determini il tempo di arrestamento t* ponendo h(t*)=h* che ti porta a

t*=sqrt[1-F^2/S^2]/F * int_[h*,h0] dh S(h)/sqrt(2gh-2(Pa-Ps)/rho).

Il problema successivo che forse e' interessante indagare e' chiedersi
per quali profili S(h) della sezione
del recipiente e' possibile avere tempi t* di arrestamento massimi e
minimi, una volta fissato il volume
V=int_[h*,h0]dh S(h)
e l'altezza ho del recipiente (cioe' fissata la sezione media).
E cioe' un problema variazionale lineare vincolato.

Si vede subito che il problema del massimo cosi' come e' posto non ha
soluzione a causa del denominatore
nell'integrale che si annulla ad un estremo ed e' semplice costruire
esempi con tempi di arresto infiniti.
Sul minimo invece si puo dire di piu'. Ad esempionel caso limite in
cui
Pa=Ps (fluisce via tutto) e F<<S avrai che il tempo
t* di uscita ha un estremo inferiore pari a 1/2 del tempo di uscita a
sezione S costante
t*>1/2 t*_{S=costante}.

Rimane aperta la ricerca del tempo massimo (e minmo nel caso
generico)
su almeno un classe ristretta di funzioni (o distribuzioni)

Ciao.
Received on Wed Aug 08 2007 - 13:14:53 CEST