Il giorno sabato 6 ottobre 2018 18:40:02 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
> Wakinian Tanka ha scritto:
Sto leggendo le tue dispense di astronomia, ma avresti una
formulazione concisa per definire l'approssimazione dell'ottica
geometrica? :-)
>
> No :-)
>
Non fa niente, tanto lo sapevo gia' :-)
Ma in realta' leggendo le tue dispense ho trovato quello che cercavo, vedi dopo.
>
WT:
Ma quando dall'equazione (3) passa all'equazione dell'iconale, dice
solo che quest'ultima si ottiene "per k grande" che e' anche peggio
che dire "quando la lunghezza d'onda e' piccola rispetto alle
dimensioni degli oggetti in gioco, come fanno la maggior parte dei
testi:
>
> Secondo me non è peggio.
>
Si, poi ho capito.
>
> Wakinian Tanka ha scritto:
L'equazione (3) del testo che hai indicato e':
k^2 * A(n^2 - nabla phi.nabla phi) +
ik [2 nabla A.nabla phi + A nabla^2(phi)] + nabla^2(A) = 0.
>
> Che poi è la mia (O9.4), pari pari.
>
Giusto.
>
WT:
Dividiamo tutto per k^2:
A (n^2 - nabla phi.nabla phi) +
i [2 nabla A.nabla phi + A nabla^2(phi)]/k + nabla^2(A)/k^2 = 0.
Che criterio numerico ho per stabilire se "k e' abbastanza grande"
da poter trascurare il secondo e il terzo termine? Come stabilisco
se:
2 nabla A.nabla phi + A nabla^2(phi) << k nabla^2(A) << k^2 ?
>
> Se tu avessi letto il mio cap. 9, dove ci sono esattamente gli stessi
> passaggi, sapresti dove sbagli.
> La O9.4 è un'eq. *complessa*. dove A e W (la phi del testo che stai
> citando) sono reali.
> Quindi equivale a *due* eq. reali:
> A (n^2 - nabla phi.nabla phi) + (1/k^2) nabla^2(A) = 0. (1)
> 2 nabla A.nabla phi + A nabla^2(phi) = 0. (2)
>
Grazie di avermelo indicato. I nomi alfanumerici dei file pdf delle lezioni non aiutano a capire il contenuto e poi la pigrizia e la mancanza di tempo...
>
> Nei miei appunti è discusso il criterio per trascurare l'ultimo
> termine nella (1), e si dà il significato fisico della (2), che è
> molto importante.
>
Si, ho visto e ti ringrazio perche' ho trovato quello che cercavo, che in effetti non si trova tanto facilmente nei testi.
Una sola cosa. Quando scrivi la (1) che nelle tue dispense e' la O9.8 cioe':
nabla W.nabla W - n^2 = (1/k^2) nabla^2(A) / A
dici: "trascurando il secondo membro si ha nabla W.nabla W = n^2" [ecco perche' basta dire "se la lunghezza d'onda e' sufficientemente piccola", nota mia] e poi dici: "l'approssimazione dell'ottica geometrica e' valida quando:
nabla^2(A) / A << n^2k^2".
Come lo deduci? La O9.8 mi suggerirebbe invece che nabla^2(A) / A debba essere molto piccolo /anche/ rispetto a nabla W.nabla W.
E' vero che se quel termine e' molto piccolo rispetto a n^2k^2 allora lo e' anche rispetto a nabla W.nabla W perche' scrivendo la O9.8 cosi':
nabla W.nabla W = n^2 + (1/k^2) nabla^2(A) / A
e dividendo tutto per n^2:
nabla W.nabla W/n^2 = 1 + (1/n^2k^2) nabla^2(A) / A
si ha che:
nabla W.nabla W ~= n^2
e lo stesso se si assume invece che quel termine e' molto piccolo rispetto a nabla W.nabla W
ma bisogna fare un ragionamento non immediato (per me :-)) per escludere che non sia /simultaneamente/ piu' piccolo di entrambi quei termini:
"Si abbia A = B+C. Supponiamo per assurdo che: C<<B (1)
ma non sia vero che:
C<<A (2)
Si avrebbe allora dalla (1):
A/B = 1+C/B ~= 1 =>
=> A~=B (3)
e contemporaneamente, dalla (2):
1-C/A = B/A dove pero' C/A non e' trascurabile.
sostituendo la (3) in questa ultima:
1-C/A~=1
ovvero C/A~=0
contro l'ipotesi".
> JTS ha scritto:
So come cambiare l'esempio del binocolo di Elio perché l'ottica
geometrica dia una buona approssimazione. Bisogna eliminare le
variazioni brusche del campo (quindi no foro con bordi netti) e dare
un po' di curvatura alla fase iniziale.
>
> Il primo criterio l'ho capito, anche se non so come si poss
> realizzarlo praticamente.
>
Che ne dici di uno schermo realizzato con un materiale che ha opacita', indice di rifrazione (e spessore?) crescenti allontanandosi radialmente dal foro?
(L'indice di rifrazione variabile fa variare il coefficiente di riflessione e quindi l'ampiezza trasmessa. Si potrebbe far variare soltanto l'opacita' ma occorrerebbe un materiale a indice di rifrazione relativo pari a quasi 1, molto difficile).
Ciao.
07/10/2018 20:55
--
Wakinian Tanka
Received on Sun Oct 07 2018 - 20:55:18 CEST