Re: equivalenza O(3) con SU(2)

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Sun, 05 Aug 2007 21:26:54 +0200

Filiberto ha scritto:
> sto studiando l'equivalenza (forse � pi� corretto dire omeomorfismo?)
Ne l'uno ne' l'altro: vedi dopo.

> tra il gruppo delle rotazioni O(3) in uno spazio tridimensionale
> euclideo e il gruppo SU(2) delle matrici unitarie con determinante
> uno.
Penso che vorrai parlare di SO(3), non di O(3); di nuovo, vedi dopo.

> E' difficile spiegarmi a parole ma ci provo. Per fare ci� ho
> considerato la matrice unitaria U 2x2 che dipende solo da due
> parametri a e b.
> ...
> Di questa dimostrazione, fatta nel capitolo 2 del quantum theory
> (credo) non capisco un paio di cose.
Scusa, ma non ho capito niente. Non so se sia colpa tua o del libro
(che libro e' esattamente?)

> ...
> Spero che qualcuno mi riesca a capire. Altrimenti date un'occhiata al
> quantum paragrafo 2.3.
Faccio prima a ricominciare daccapo...

Partiamo da uno spazio C^2 (gli spinori), su cui facciamo agire le
matrici di SU(2).
L'elemento generico di SU(2) e' una matrice 2x2 unitaria e a det. 1.
Si puo' dimostrare che una tale matrice dipende da tre parametri
reali: per es. la puoi scrivere cosi':

U = cos(phi/2) + i*sin(phi/2)*(n.s)

dove n e' un vettore 3-dim. reale, s e' il vettore delle tre matrici
di Pauli, (n.s) indica l'ordinareio prodotto scalare di R^3.
Il parametro phi va da 0 a 2pi.

La piu' generale matrice hermitiana a traccia nulla su C^2 si scrive
invece:

H = (x.s)

dove x e' un elemento di R^3: esplicitamente potrei scrivere

H = x_1 s_1 + x_2 s_2 + x_3 s_3.

Osserva che det H = -(x.x).

Nel seguito per comodita' indichero con M' la matrice inversa di M,
con M" la sua hermitiana coniugata. Di conseguenza per una matrice
unitaria U' = U".

Se ora calcoliamo

K = U" H U = U' H U (1)
Received on Sun Aug 05 2007 - 21:26:54 CEST