Carissimi,
sto studiando l'equivalenza (forse � pi� corretto dire omeomorfismo?) tra il
gruppo delle rotazioni O(3) in uno spazio tridimensionale euclideo e il
gruppo SU(2) delle matrici unitarie con determinante uno.
E' difficile spiegarmi a parole ma ci provo. Per fare ci� ho considerato la
matrice unitaria U 2x2 che dipende solo da due parametri a e b. L'ho
applicata a uno spinore a due componenti e ho notato che ci sono due spinori
che si trasformano nello stesso modo sotto trasformazione unitaria con det =
1. Quindi entrambi sono due elementi del gruppo SU(2). Anche gli hermitiani
coniugati si trasformano nello stesso modo. Ora prendendo il prodotto dello
spinore csi per il suo hermitiano coniugato csi croce posso dire che questo
(il prodotto) si trasforma come il prodotto di quello equivalente per il suo
hermitiano coniugato sotto SU(2). In questo modo arrivo a definire una
matrice H a traccia nulla che pero non � hermitiana e non mi pare nemmeno
unitaria (correggetemi se sbaglio) ma � importante perch� sotto SU(2) si
trasforma come il prodotto tra l'hermitiano coniugato dello spinore e lo
spinore stesso.
Adesso cosa faccio? Voglio costruire una matrice sempre a traccia nulla che
si trasforma sotto SU(2) esattamente come H, quindi come il prodotto csi
croce csi. Questa matrice che chiamo h � proprio il prodotto scalare tra il
vettore delle tre matrici di Pauli e il vettore posizione (x, y, z). A
differenza della H, h � hermitiana ma non mi pare essere unitaria (a meno di
un segno). Quindi siccome dico che sotto SU(2) si trasforma come la H (in
realt� dovrei dimostrarlo), allora anche la matrice trasformata h' rimane
hermitiana e a traccia nulla e ha come det 1 (Quest'ultimo passaggio mi
sembra poco chiaro) Dall'uguaglianza dei determinanti ricavo che il modulo
quadro del vettore posizione rimane costante. Quindi � una rotazione. Quindi
concludo dicendo che una trasformazione SU(2) su uno spinore in uno spazio
complesso bidimensionale equivale a una trasformazione O(3) su un vettore
posizione. O(3) � quindi equivalente a SU(2).
Di questa dimostrazione, fatta nel capitolo 2 del quantum theory (credo) non
capisco un paio di cose.
1) Sulla base di cosa posso identificare la matrice H con h?
2)Le due matrici si trasformano allo stesso modo sotto SU(2), cio� sotto
trasformazioni unitarie con determinante 1 ma come faccio a dire che in
virt� di questo fatto la trasformazione conserva il carattere
dell'hermeticit� se H non � hermitiana??
3) Nella dimostrazione a un certo punto dico che la trasformazione unitaria
su h induce una rotazione del vettore posizione. Per fare ci� basta che
faccia vedere che il modulo quadro del vettore posizione si conservi?? Ma
allora mi basta la condizione sul determinante, no?
Spero che qualcuno mi riesca a capire. Altrimenti date un'occhiata al
quantum paragrafo 2.3.
Cordiali saluti,
Filiberto
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Received on Wed Aug 01 2007 - 01:54:03 CEST