Re: lagrangiana non locale

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: Fri, 15 Jun 2007 09:42:11 -0700

Valter Moretti ha scritto:

> OK � quello che pensavo anche io, ma cos� ho dei problemi con le
> grandezze conservate. Come tiri fuori le "cariche" classiche
> conservate in virt� del teorema di Noether per quella lagrangiana
> dovute all'invarianza di Poincar� (puoi metterci anche le derivate dei
> campi per ottenere qualcosa di meno banale quando passi alle equazioni
> del moto facendo la derivata funzionale). Puoi applicare qualche
> generalizzazione del teorema di Noether a quel caso? (Non � una
> domanda retorica, io non ci ho mai pensato seriamente).

Direi che e' fattibile infatti il teorema di Noether lo puoi applicare
anche al caso in cui hai solo una lagrangiana L[phi,dphi] e non una
densita' lagrangiana. Infatti mi sembra che (ad una trasformazione ad
un parametro alpha che manda phi in phi+alpha*Delta(phi)) le correnti
associate siano una cosa del tipo

J_mu(x)=D(L)/D(d_mu phi(x))Delta(phi(x))

dove adesso D e' la derivata funzionale di L e d_mu e' la derivata
nello spaziotempo. Siccome L dell'esempio postato

S=int (dx1dx2) phi(x1)O[x1-x2]phi(x2)

(dove pero' O avra' anche un po' di derivate) coinvolge due integrali
la derivazione funzionale ne ammazza uno solo (prima uno e poi
l'altro) e quindi mi aspetto che le correnti siano della forma

J_mu(x)=int dy P_mu(x-y)(phi(y))

e le cariche

Q=int dx J_0(x)=int dxdy P_0(x-y)(phi(y))

una espressione non locale. Del resto questa attesa sembrerebbe
rafforzata dall'Hamiltoniana ottenuta via Legendre.
Generalizzando mi aspetteri che una lagrangiana con contributi non
locali di n generici campi abbia le cariche che si ricavano con
Noether nel solido modo pur divennendo anch'esse non locali

Q=\sum_n int (dx1 dx2...dxn)
J_0[phi(x1),...,phi(xn),dphi(x1),...dphi(xn)]

> Tutto questo invece non c'entra con la polinomialit� delle lagrangiane
> locali che si usano, che invece mi sembra solo un requisito di
> semplicit�...

E' questo il punto, e' solo semplcita' oppure c'e' di piu'?
Ciao.
Received on Fri Jun 15 2007 - 18:42:11 CEST