Elio Fabri ha scritto:
[..]
> Probabilmente pensi alla centrifugazione, in cui avvade quello che
> dici. Ma la centrifugazione non e' un vortice: e' acqua che ruota
> *tutta insieme* alla stessa velocita' angolare.
> Invece in un vortice il liquido che sta all'esterno ruota piu'
> lentamente, e questo produce effetti "strani", tra cui quello che
> dici.
Ti sbagli. Elio: anche nel vortice ideale un corpo "piccolo" sarebbe
sottoposto allo stesso tipo di forze, dove con "piccolo" intendo "cos�
piccolo da non disturbare significativamente il campo di moto, e da
permettere di approssimare il risultante delle forze di pressione sul
corpo col prodotto fra il gradiente di pressione ed il volume del
corpo stesso". In fluidodinamica il vortice ideale � per definizione
la seguente soluzione dell'equazione di Laplace in R^2 meno l'origine,
phi(r,theta) = Gamma/(2*pi)*theta
qui scritta in coordinate polari (Gamma � la circolazione). Calcolando
il gradiente di phi abbiamo il campo di velocit� associato:
V_r = 0
V_theta = Gamma/(2*pi*r)
Ovviamente, visto che deriva da un potenziale, si tratta di un campo
di velocit� irrotazionale, anche se la circolazione � pari a Gamma su
di una curva che "giri intorno all'origine" una volta in senso
antiorario. Inoltre essendo phi soluzione dell'equazione di Laplace,
il campo di velocit� � anche indivergente, ergo � un moto
incomprimibile. Dal teorema di Bernoulli il campo di pressioni � :
p = c - rho*(Gamma/(2*pi*r))^2
pertanto dp/dr = rho*Gamma^2/(2*pi^2*r^3) > 0 e dunque l'effetto
suddetto sussiste eccome, nonostante la velocit� tenda a 0 per r ->
inf.
Naturalmente un vero vortice non si comporta come questo: come
accennava Maurice, ci sar� un "occhio", cio� un raggio minimo r_0 al
di sotto del quale la distribuzione di velocit� � molto simile a
quella di un corpo rigido in rotazione attorno all'asse del vortice
(modello del vortice combinato di Rankine). Ma in ogni caso il fluido
si muove in traiettorie circolari concentriche con velocit�
indipendente da theta, e quindi � sempre:
-1/rho*dp/dr = V^2/r >0
Per cui le particelle di densit� maggiore di quella dell'acqua tendono
a spostarsi verso l'esterno, e viceversa verso l'interno. Il motivo
per cui l'effetto descritto da gino non si presenta nel caso del t�
non ha a che vedere con i vortici, intesi come soluzioni delle
equazioni del moto dei fluidi non viscosi, ma � intimamente legato
all'esistenza, nei fluidi reali, di una viscosit� finita anche se
"piccola".
>
> > Ora ogni volta che mi faccio un the, uso ancora il colino, le briciole
> > di foglioline del the che vedo in fondo alla tazza, quando mescolo, si
> > radunano in un conetto al centro. Perch�? se stanno in fondo sono pi�
> > pesanti dell'acqua e dovrebbero allora andare verso i bordi della
> > tazza.
> Il fatto e' che al fondo della tazza c'e' un flusso di liquido
> dall'esterno verso l'interno (si chiama "flusso secondario")
> E' lui il responsabile dell'accumulo delle foglioline al centro
>
> Pero' ci vorrebbe uno che sappia piu' idraulica di me...
[..]
In un altro messaggio avevo proposto di affrontare questo problema sul
gruppo "fluidodinamica" su Google Gruppi
http://groups.google.it/group/fluidodinamica?lnk=srg&hl=it
"Il gruppo tratta di fluidodinamica, aerodinamica, aeroacustica, ecc.
in tutti i loro aspetti (teoria, esperimenti, simulazioni, ecc.),
delle applicazioni e dei legami con altre discipline scientifiche."
visto che � il primo degli argomenti di discussione suggeriti nella
home page del gruppo. Quel messaggio pare essere sparito nel nulla,
per cui ecco qui la spiegazione.
I fluidi reali hanno una viscosit� mu non nulla, legata al trasporto
di quantit� di moto su scala microscopica. A pressioni ordinarie
questo fa s� che la velocit� di un fluido a contatto con un solido sia
uguale a quella del solido ("no slip condition"), perci� a contatto
con la tazza (pareti laterali + fondo) la velocit� dell'acqua � 0. La
viscosit� mu di un fluido reale � "estremamente bassa" (detta
rozzamente): per essere precisi, il numero adimensionale Re = rho*V*R/
mu, detto numero di Reynolds (R = raggio della tazza, V velocit�
caratteristica del fenomeno, per esempio la velocit� in corrispondenza
di r = R/2) � molto maggiore di 1 nel nostro caso (per gino: prova a
calcolarlo). Questo fa s� che gli effetti della viscosit� siano
confinati solo in uno straterello adiacente alle pareti solide, detto
"boundary layer", di spessore delta, al di fuori del quale la velocit�
ha il valore previsto dal modello di Rankine: delta/R << 1 per valori
realistici di Re.
Torniamo al problema: sul fondo della tazza, dentro il boundary layer,
la velocit� � molto piccola (0 sulla parete), per� la pressione ha
praticamente lo stesso andamento che nel resto del campo, poich� il
b.l. ha spessore molto piccolo e la pressione esterna si "imprime" su
di esso (si pu� dimostrare rigorosamente). Ergo � massima vicino le
pareti laterali e minima al centro. Ora, nel resto della tazza questo
gradiente di pressione � esattamente quello che serve a tenere le
particelle di fluido sulle traiettorie circolari, ma nel b.l. le
particelle sono quasi ferme e sotto l'azione di questo gradiente
andranno dall'esterno all'interno. Arrivate al centro da tutti i lati,
devono salire verso l'alto, se no ci sarebbe distruzione di massa, e
sempre per la stessa ragione, in superficie esse si muovono verso
l'esterno, per poi ridiscendere verso il basso. Questo � il cosiddetto
"flusso secondario". In superficie la somma di flusso secondario e
gradiente di pressione del flusso primario hanno l'effetto di portare
le particelle di t� verso l'esterno, come diceva gino, dopodich� per�
il flusso secondario le fa prima scendere lungo le pareti laterali e
poi convergere verso il centro della tazza. Verso il centro della
tazza, la velocit� radiale del fluido tende a 0 anche al di fuori del
b.l. (modello di Rankine). E' un p� come se l'acqua si "fermasse" per
un attimo prima di dirigersi verso l'alto. Ora, proprio perch� le
particelle di t� hanno densit� maggiore delle particelle d'acqua, esse
non riescono a risalire assieme all'acqua e sono depositate sul fondo
della tazza stessa, al suo centro.
Ciao,
deltaquattro
Received on Mon May 14 2007 - 15:57:24 CEST