Re: teoria dei campi vs maccanica

From: Tetis <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Wed, 18 Apr 2007 17:21:19 GMT

Il 14 Apr 2007, 13:08, "Valter Moretti" <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
>
Sarei
> stato molto contento di un libro di quel tipo da studente...Per
> esempio quando ero studente capii che ci doveva essere una cosa come
> la rotazione di Wigner: quando fai agire una trasformazione di Lorentz
> pura sopra una funzione d'onda spinoriale, la trasformazione non si
> fattorizza nello spazio dei momenti e in quello dello spin, ma nello
> spazio dello spin si ricorda anche del momento tramite una certa
> rotazione che dipende dall'impulso, questo � dovuto al fatto che non
> esistono rappresentazioni unitarie del gruppo di Lorentz
> finitodimensionali [al contrario di ci� che accade per il gruppo delle
> rotazioni].

Il che ha anche una controparte nella circostanza che
la trasformazione di Foldy Whouthuysen che commuta
con p e J non commuta invece con l'operatore posizione,
e si parla quindi di Zitterbewegung, e risulta che la
rappresentazione concreta della trasformazione di
Foldy Whouthuysen � non locale.

Feci anche il calcolo di come doveva essere fatta questa
> rotazione, ma non trovai alcun libro alla portata di uno studente su
> cui confrontare il risultato...Sul Landau non si capisce niente! Sul
> Di Giacomo invece c'� il calcolo e la questione � studiata in un certo
> dettaglio anche se nel solito modo stringato.

Come studente di quel corso ti posso dire che la stringatezza �
un punto di difficolt� che rischia di essere soverchio: proprio
per il fatto che quando vai a cercare su altri libri non trovi alcun
riscontro, trovi scritto tutto alla rovescia e talvolta mancano le
conclusioni
da cui Di Giacomo parte :-) Dopo che invece hai seguito un corso
in cui le cose ti sono raccontate in modo tradizionale, o sei stato
sul Messiah per qualche giorno cercando di ricostruire
il filo delle diverse rappresentazioni, apri il libro di Di Giacomo e
capisci che ha passato del tempo a riordinare le idee
in modo che stessero all'inizio i principi generali della teoria delle
rappresentazioni ed in fondo le
varie rappresentazioni di uso concreto ed i vari limiti, incluso quello
non relativistico, il limite principale per� � che questo modo di procedere
lo
si apprezza se si conoscono i risultati ovvero la base fenomenologica
della teoria tradizionale.

Come dicevo l'idea che ci sia una distanza fra la teoria
dei campi quantistici relativistici e la teoria delle funzioni d'onda
relativistiche � una verit�, che forse ha una motivazione pi� profonda
del fatto che una teoria dei campi aspira a maggiore completezza, tuttavia
la maggiore completezza della teoria dei campi basta a rendere conto
di alcune difficolt� didattiche.

Tipicamente
una teoria dei campi sar� pi� vincolata di una teoria di singola particella
ed escluder�, per via di principi generali, delle possibilit� che una
teoria ondulatoria esclude per via fenomenologica.

Ad esempio l'idea che la rappresentazione di
Dirac la trovi diagonalizzando la matrice gamma_0
partendo invece dalla rappresentazione di Weyl �
semplice se hai approfondito il tema del formalismo di Schroedinger,
ma il fatto di vedere le particelle come rappresentazioni irriducibili
del gruppo di Poincar� sembra piovere dal
cielo e pu� risultare imbarazzante il fatto di vedere le due componenti
spinoriali dei bi-spinori mescolarsi, come poi diventa motivo di perplessit�
il fatto che uno vorrebbe trovare anche esempi delle altre rappresentazioni
irriducibili ed invece l'elettrodinamica si ferma alle particelle (1/2,0) +
(0,1/2)
ed alle componenti di gauge associate con la rappresentazione aggiunta
del gruppo di simmetria.

 Il fatto che lo spazio degli stati � quella somma
diretta di due rappresentazioni irriducibili � dovuto alla necessit� che la
teoria sia invariante per parit�. E questo � il punto pi� drammatico dal
punto di vista didattico perch� si fatica enormemente, in mancanza di una
presentazione tradizionale del soggetto "equazione di Dirac", a capire cosa
mai possa significare nel mondo concreto la rappresentazione di Weyl e
quel giochetto matematico dello scambio delle J+ con le J-. La tentazione
dello studente digiuno delle presentazioni tradizionali � infatti quella di
partire dall'algebra J+ e J- e studiare le rappresentazioni unitarie,
anzich�
quelle pseudounitarie, ovvero la versione compatta SO(4) del piccolo gruppo
di Lorentz o eventualmente SU(2) x SU(2) anzich� la versione naturale
SL(2,C) non compatta, dell'inviluppo, e le rappresentazioni non unitarie.
 
Il fatto che un'algebra di Lie finito dimensionale
ammetta sempre un'inviluppo contenuto in U(n) per n sufficientemente
grande e che solo le algebre di Lie infinito dimensionali non ammettano
questa immersione fa pensare che il motivo per cui in pratica la natura
conduca a studiare la versione non compatta dell'inviluppo sia da ricercare
nel fatto che si sta puntando a studiare una teoria dei campi quantistici
per un numero arbitrario di particelle e che solo nelle rappresentazioni
irriducibili non unitarie questa potr� trovare luogo.

Il punto di vista topologico alla geometria delle variet�, alla Cartan,
aggiunge un motivo ulteriore per pensare che volendo connettere
i diversi livelli di una teoria quantistica ondulatoria in uno schema
unitario occorre ricorrere a spazi ausiliari in cui l'azione del gruppo
di simmetria sia libera, ovvero priva di punti fissi, questo avviene
solamente se consideriamo come spazio ausiliario uno spazio di
Hilbert infinito dimensionale che risulta contraibile con continuit�
ad un punto. In pratica abbiamo bisogno di uno spazio di Fock. Ma
il punto di vista di Cartan ha una controindicazione ulteriore sul
piano didattico: � del tutto assente, nei corsi tradizionali un qualsiasi
accenno a fenomenologie supersimmetriche a livello classico o
quantistico che si voglia. Il punto di vista di Cartan ha per� un portato
supersimmetrico del tutto naturale, infatti gli spazi di Fock adatti a
rappresentare insieme l'azione delle algebre di Lie e l'azione aggiunta
delle algebre di Lie sono
spazi vettoriali Z-graduati e le teorie di gauge implicano spazi
Z_2 graduati. Tuttavia anche questa costruzione comporta delle
scelte arbitrarie, come ad esempio l'uso della ipotesi di separabilit�
degli spazi di Hilbert che � soverchia per una teoria dei campi come
la sviluppa Connes.

A discolpa di Di Giacomo c'� da dire che queste difficolt� ,che sono comuni
a quasi
tutta la generazione dei fisici teorici contemporanei, non si pu� fare una
colpa
all'autore di quelle note, anche perch� vedere che ci sono questi gradi di
libert�
che man mano si riducono per via di ipotesi aggiuntive pu�
risultare un modo di riflettere e di approfondire quasi illimitato.

Weinberg non � certo adatto ad un
corso introduttivo per altri motivi, per� contiene un'ulteriore
tematizzazione
delle perplessit� di un'intera generazione ed alcune scelte che
nell'approccio
non campistico alle rappresentazioni irriducibili sembrano arbitrarie
diventano pi� necessarie, passo per passo, in tre volumi enciclopedici
Weinberg arriva a dover trattare le supersimmetrie. Cosa che la geometria
di Cartan fa naturalmente, senza avere il problema di spiegare perch�
la supersimmetria sia cos� ben nascosta dalla fenomenologia :-)

 Un'altra cosa � la
> rappresentazione del gruppo di Lorentz nello spazio di Hilbert di una
> particella senza massa, ma con elicit�: su Landau secondo me non si
> capisce niente nuovamente, � tutto fatto "alla buona" con trucchetti e
> analogie. Mi ricavai la struttura generale di tali rappresentazioni,
> ma anche quella volta non trovai un libro comprensibile su cui
> confrontare il risultato. Di nuovo su Di Giacomo la questione �
> spiegata decentemente... Oggi c'� anche il libro in 3 (o 4?) volumi di
> Weinberg che � abbastanza chiaro su queste cose (a parte la grafica
> orripilante a mio parere).
>
> Ciao, Valter
>

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Received on Wed Apr 18 2007 - 19:21:19 CEST

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