Re: teoria dei campi vs maccanica

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: 11 Apr 2007 03:00:22 -0700

On Apr 11, 9:45 am, "argo" <brandobellazz..._at_supereva.it> wrote:
> Elio Fabri ha scritto:
>
> > argo ha scritto:
> > > Non mi e' chiarissimo il legame tra le due teorie.
> > > Per fare un esempio non mi e' chiaro come si impostano i conti per
> > > calcolare i livelli dell'atomo di idrogeno da un punto di vista
> > > relativistico campistico.
> > Posso darti un'indicazione per il positronio, che e' del tutto simile
> > ma e' pura QED.
> > Si tratta di trovare i poli dell'ampiezza di scattering, cosa che non
> > puoi fare per via perturbativa, perche' a nessun ordine i grafici
> > presentano poli.
> > La soluzione e' stata data da Bethe e Salpeter, e la trovi descritta
> > ad es. nel "Landau" vol. 4, seconda parte, par. 122.
>
> Grazie per la referenza (e ringrazio anche Tetis per la sua risposta)
>
> > > E ancora: come si fa a passare dalla notazione di campo a quella di
> > > funzione d'onda che devo dire mi sembrano molto distanti?
> > Qui forse mi sfugge il senso della tua domanda, perche' la risposta mi
> > sembrerebbe troppo facile...
> > Se hai uno stato |1> con *una* particella, la sua f. d'onda e'
> > <0|A(x)|1>.
> > Oppure sbaglio in qualcosa di grossolano?
>
> Beh anch'io a prima vista direi cosi' ma e' che non ne sono convinto
> (anche perche' su quali libri e' discusso questo aspetto? Non e' che
> e' tralasciato perche' non banale?).
> In fin dei conti si tratta di capire chi e' <x| e viene naturale dire
> che e' <0|A(x) (per A(x) Hermitiano) visto che se lo applico a |
> p>=a*(p)|0> ottengo una sorta di onda piana normalizzata
> relativisticamente. Tuttavia poiche' int_x |x><x| non da'
> l'identita' (proprio per quella normalizzazione relativistica) non
> sono sicuro che le cose stiano proprio come sopra.



Ciao, stai facendo un p� di casino. Intanto la x che appare in A(x) �
un punto (o quadrivettore) nello spaziotempo e non tra coordinate
spaziali. Pertanto cose come
int_x |x><x|
non hanno senso. Poi si tratta di una "definizione" e non c'� molto da
discutere, cio� si pu� discutere sulla appropriatezza di tale
definizione e sull'unicit� di essa in base alle richieste.
Quello che si richiede � che la rtappresentazione unitaria U_g che
rappresenta il gruppo di Poincar� nello spazio di Hilbert lasciando il
vuoto invariante agisca in modo co-variante (a seconda della
rappresentazione usata, cio� del tipo di campo) sulle funzioni d'onda
(stimao parlando della funzioni d'onda covarianti, non di quelle di
Newton-Wigner).
Nel caso di partticelle scalari ci� significa che la funzione d'onda
f_g(x) di U_g|1>, per ogni elemento g del gruppo di poincar� sia
legata alla funzione d'onda f(x) di |1> tramite la rappresentazione
appropriata del gruppo di Poincar�:

f_g(x) = f(g(x))

e questo succede: usando l'invarianza del vuoto

f_g(x) = <0|A(x)U_g |1> = <0| U*_g A(x)U_g |1>

usando la covarianza del campo U*_g A(x)U_g = A(g(x)) si ha infine

f_g(x) = <0| U*_g A(x)U_g |1> = <0|A(g(x))|1> = f(g(x))


Per concludere, _da matematico_ faccio notare che <0|A(x)|1> in realt�
non esiste a meno di non interpretarlo come (il nucleo integrale
dell)a distribuzione di Schwartz
h -> <0|A[h]|1>
dove A[h] � l'operatore di campo regolarizzato (smeared with) la
funzione test h.

Ciao, Valter
Received on Wed Apr 11 2007 - 12:00:22 CEST