Il 02 Apr 2007, 14:55, "Valter Moretti" <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
> On 30 Mar, 04:56, gianmarco..._at_inwind.it (Tetis) wrote:
>
> >
> > Credo vagamente di immaginare a cosa ti riferisci, ma lo spazio
> > di Hilbert di cui parli chi �?
Ho scritto una mail ieri in cui esplicitavo, insieme ad altri
aspetti, quello a cui pensavo ti riferissi. Questa tua replica
mi sembra confermare in parte quello che supponevo. Ad ogni modo
faccio una sintesi dei punti punti di convergenza e delle
questioni che mi sembra rimangano comunque a margine,
ma sono importanti per il caso specifico: bosone di Higgs
di cui stiamo parlando.
> Ciao, bisogna spostare il punto di vista sull'algebra delle
> osservabili vista in modo astratto: � una C*-algebra con unit� A. Poi
> considera un gruppo G di trasformazioni g che agisca sull'algebra che
> preservi la struttura di C*-algebra.
>
> a -> g(a) per ogni g in G e a in A
>
> G � detto gruppo di simmetria.
>
> Ora fissa uno stato omega (algebrico) su A. Fai la costruzione GNS e
> ottieni la tripla GNS
> (H, Pi, psi), dove H � lo spazio di Hilbert della teoria, Pi la
> rappresentazione di A su H in termini di operatori e psi � il vettore
> ciclico rispetto a Pi che soddisfa
>
> <psi |Pi(a) psi> = omega(a) per ogni a in A
>
> A questo punto uno si chiede se esiste una rappresentazione unitaria U
> di G che agisce su H "implementando G" cio�:
>
> Pi(g(a)) = U(g) Pi(a) U(g)* per ogni a in A e g in G (1)
>
>
> Si pu� dimostrare che se omega � invariante sotto G, cio�
omega(g(a))omega(a) per ogni
> g in G, allora esiste ed � unica una rappresentazione unitaria U che
> rappresenti G e che lasci invariato psi.
Certo. Quindi sembra che l'esistenza di uno stato di vuoto puro ed
invariante sia
condizione sufficiente per l'esistenza di una rappresentazione unitaria, ma
non
una condizione necessaria, come invece vorremmo che fosse se volessimo che
l'esistenza di una rappresentazione unitaria caratterizzasse la rottura
spontanea
della simmetria. Tuttavia...
Si pu� mostrare anche che: una
rappresentazione unitaria non pu� essere implementata tenendo insieme
sia che lo stato di vuoto � invariante per traslazioni, sia che non �
invariante
per le simmetrie interne del gruppo, sia che le traslazioni e le simmetrie
interne commutano.
Questo � un classico teorema no go che viene per� superato
nelle teorie supersimmetriche per�, infatti in quel caso le traslazioni
non sono vincolate a commutare con le simmetrie interne, anzi stanno
sullo stesso piano. Ad ogni modo, restando al livello di impostazione
di cui si parla nel modello standard l'assunzione di invarianza per
traslazione e di commutativit� fra simmetrie interne e traslazioni
� un punto di partenza e siamo nelle condizioni che riguardano quello
che scrivevo ieri:
Per me la questione si schematizza come segue:
se lo stato estremale invariante per
l'azione del gruppo degli automorfismi
pu� essere scelto puro la simmetria � conservata
se ovvero deve esser costruito come una
miscela statistica la simmetria � rotta, se siamo nel
vuoto della teoria quantistica dei campi il fatto che lo
stato di vuoto � una miscela statistica implica che
non esiste una rappresentazione unitaria che implementa
le simmetrie nello spazio di Hilbert astratto "ricostruito" dall'algebra
in termini delle rappresentazioni GNS.
in altre parole la rottura spontanea di simmetria
corrisponde alla impossibilit� di uno stato estremale puro invariante
rispetto allo stato di vuoto. Questa definizione dovrebbe implicare
quella che fornisci tu, nella misura in cui lo
spazio di Hilbert che tu citi �, per quanto riguarda questa definizione,
quello ricostruito dall'algebra delle osservabili mediante GNS.
Se occorre pi� di uno stato di vuoto per costruire un invariante
vuol dire che esiste un settore di vuoto in cui la simmetria � rotta
e dunque � violata l'equivalenza fra i settori di vuoto, il che � in
contraddizione con l'esistenza di una rappresentazione dello
stato di vuoto.
> Le situazioni interessanti sono per� due:
>
> (a) omega non � invariante sotto G ma esiste comunque una
> rappresentazione unitaria di G nella rappresentazione GNS di omega nel
> senso che vale (1). In tal caso si dice che la simmetria � rotta (dal
> vuoto)
sembrebbe non potere esistere in una teoria quantistica relativistica
in cui le simmetrie interne e le simmetrie per trasformazioni di Poincar�
risultano disaccoppiate. E d'altra parte questo disaccoppiamento
sembra obbligatorio a meno di non postulare una simmetria che scambi
i fermioni con i bosoni ed introdurre le cosiddette superalgebre in luogo
delle tradizionali algebre di Lie, oppure a meno di non rinunciare alla
simmetria di Poincar� nel qual caso non siamo pi� in una teoria
quantistica relativistica. La questione mi sembra che per� riguardi
solo di striscio il tema del significato delle invarianze di gauge che
invece � centrale nella teoria del meccanismo di Higgs Kimble.
Mi dici che Araki pu� essermi utile per questo ultimo aspetto?
> (b) omega NON � invariante sotto G e NON esiste alcuna
> rappresentazione unitaria di G nella rappresentazione GNS di omega (1)
> non � soddisfatta per alcuna rappresentazione di G su H. In tal caso
> si dice che la simmetria G � rotta SPONTANEAMENTE da omega.
>
> Ciao, Valter
Nell'altra e-mail mi riferivo ad Haag ed altri autori e dicevo:
L'indagine sugli stati di vuoto rigorosamente Poincar� con campi gapless
porta alla predizione che non possono esistere stati di vuoto Lorentz
invarianti che non siano miscele statistiche. Per quanto riguarda la
rottura spontanea di simmetria di gauge, invece, occorrono risultati
che riguardano la struttura globale dello spazio tempo e dei campi,
una precisazione molto accurata delle scale concrete dei sistemi
considerati, onde giustificare o escludere una descrizione del sistema
in termini di ensemble ed infine una conoscenza fenomenologica
delle funzioni di correlazione che quantificano l'entanglement ovvero
le correlazioni di gauge, che allo stato odierno sono piuttosto far
reaching.
In un altro punto della stessa e-mail, pensando ad un passo oltre
la postulata simmetria di Poincar� accennavo alla composizione dei
settori di vuoto ed all'analisi di Buchholz Fredenhagen mettendo
questi argomenti in relazione con i capitoli generali delle singolarit�
topologiche per teorie gauge invarianti ed al capitolo in parte distinto
delle anomalie quantistiche.
Infine lasciavo inespressa la considerazione che in un punto di vista
geometrico
unitario, quale quello offerto dalla geometria non commutativa, le questioni
delicate, nella fattispecie: gli impliciti di tipo statistico, come la
propriet� di
cluster decomposition, e l'approssimazione classica per i campi polarizzati
dalla rottura di simmetria, che si
hanno nella derivazione del teorema di Goldstone, da una parte,
ed il capitolo a prima vista distinto delle cariche topologiche associate
ad interazioni deboli sui termini di gauge, dovrebbero trovare una sintesi.
Mi ero permesso in quel capitolo di fare un'escursus
informale con analogie al meccanismo di Landau Ginzburg dello stato solido e
suggerire
un argomento naive per comprendere come termini efficaci
di autointerazione fra i campi di gauge possono portare a cariche
topologiche
per via di propriet� del tutto generali della meccanica quantistica: in
particolare
pensavo agli operatori hermitiani dipendenti da parametri ed ai teoremi di
Atiyah per i termini non lineari nelle teorie di gauge.
Infine ne approfitto per citare un'altro aspetto del meccanismo di
Higgs-Kimble: � relativamente poco conosciuto che insieme al precedente di
Anderson ci fu il precedente di Stuckelberg. Il modo in cui Stuckelberg e
poi
in seguito Feynman "vedono" la genesi di una massa � molto suggestivo,
anche se trova oggi pochi supporters. L'idea � all'incirca questa: tutti i
campi
sono in verit� campi massless. Tuttavia se consideriamo dei termini
aggiuntivi
non lineari, non importa quale ne sia la loro specifica forma, n� se
derivino
dal fatto che i campi interagiscono fra loro ed autointeragiscono, o dal
fatto
che esistono dei vincoli geometrici di cui tenere conto, quello che succede
� che ogni campo mass-less, lungo la strada, si trova a cambiare
continuamente la propria direzione di moto lungo il cono luce. (per via di
termini tipo <h> A^mu A_mu ad esempio). Il risultato � che noi osserviamo
vettori medi interni al cono luce, donde l'apparenza di una massa.
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Received on Mon Apr 02 2007 - 20:18:03 CEST