Il 22 Mar 2007, 18:48, p4w_at_libero.it (popinga) ha scritto:
> Ciao a tutti, sono un po' confuso, cerco spiegarmi. L'idea di base del
> meccanismo di rottura spontanea della simmetria (SSB) � descritta nel
> modello di Higgs.
Parzialmente inesatto. Il modello di Higgs esibisce una rottura spontanea
di simmetria, che nel caso del modello di Higgs � di tipo speciale, infatti
alla base della teoria di Higgs sta una lagrangiana gauge invariante,
questo comporta la possibilit� di introdurre un vincolo arbitrario oppure
di procedere consapevoli che alcuni gradi di libert� risultano accoppiati
in modo non osservabile.
Un breve ripasso generale:
un sistema fisico descritto o meno, da una densit� lagrangiana che sia
invariante rispetto
al gruppo G, quando questo gruppo � continuo e la simmetria di questo gruppo
� spontaneamente rotta ad un sotto gruppo H di G c'� un bosone di Goldstone
non massivo per ogni simmetria indipendente che risulta rotta. Questo si
verifica anche nel caso di Higgs ma il campo risultante, per la postulata
invarianza di gauge risulta non osservabile.
In natura sono molti i casi di simmetrie spontaneamente rotte. Il pi�
comune lo osserviamo in fisica atomica. Gli atomi e l'equazione di
Schroedinger per gli elettroni sono invarianti per rotazioni, ma non
necessariamente lo stato fondamentale di un atomo � invariante per
rotazioni. Analogamente alcuni materiali magnetici hanno un reticolo
che � invariante rispetto a certe simmetrie, ma pu� darsi che i materiali
abbiano una magnetizzazione spontanea che viola questa simmetria.
Questo secondo esempio � il pi� vicino al meccanismo di rottura spontanea
della simmetria quale si verifica in teoria dei campi quantistici. In teoria
dei campi una simmetria che spontaneamente si rompe � associata con
uno stato di vuoto degenere (analogamente al fatto che per un sistema
in cui la magnetizzazione spontanea pu� essere non nulla si ha uno
stato fondamentale differente per ogni diverso valore della magnetizzazione
che si ottenga da uno di essi applicando il gruppo del cristallo,
questo esempio illustra subito perch� abbiamo un sottogruppo H:
una magnetizzazione che sia caratterizzata dal solo momento di dipolo
magnetico � invariante per rotazioni) infatti possiamo elencare
genericamente
i campi che intervengono nella lagrangiana: h1(x), h2(x), ..., hn(x) e
considerare i punti stazionari, rispetto a variazioni della lagrangiana,
se, come supponiamo, lo spettro della hamiltoniana associata con
codesta lagrangiana � limitato inferiormente risulter� che il punto
stazionario che corrisponde ad assenza di eccitazioni elementari,
� lo stato di vuoto, pu� tuttavia verificarsi che rispetto alle simmetrie
della lagrangiana, codesti stati di vuoto abbiano valore di aspettazione
non nullo. Ovvero il vettore dei valori medi: <h1>,...,<hn> risulta diverso
da zero ed inoltre l'azione del gruppo di simmetria su questo vettore ne
pu� cambiare il valore. Ma attenzione: la lagrangiana era e rimane
invariante
rispetto al gruppo G, sono i campi stazionari
che invece risulteranno invarianti solamente
rispetto ad un sottogruppo di G. Cosa succede se il quoziente G/H d� luogo
ad una variet� continua? Succede che nei pressi di uno stato di vuoto ne
devono sussistere infiniti altri. Facciamo un esempio nel linguaggio
classico: consideriamo un
continuo con un termine di interazione attrattivo ed un termine di energia
che invece dipende dalla tensione,
V(u,grad(u)) =\Int k (grad(u))^2 dr +\Int u(x)u(y)V(x-y) dx dy
Questo � invariante per rotazioni e per traslazioni.
Questo tipo di lagrangiana, per opportune forme del potenziale attrattivo
crea
stati di minimo a densit� u(x) non costante, quindi sebbene la lagrangiana
sia invariante per roto-traslazioni, le soluzioni stazionarie non sono pi�
invarianti per
traslazioni n� per rotazioni.
Inoltre nei pressi dello stato di minimo avremo infiniti
altri stati di minimo che differiscono solamente per la posizione del centro
di simmetria o per la posizione relativa degli assi di inerzia. Se
aggiungiamo
un piccolo termine cinetico quello che si verifica � che potremo vedere
soluzioni d'onda per questo campo che corrispondono a velocit�
arbitrariamente piccole, ovvero soluzioni che si muovono a
velocit� costanti. Qui non abbiamo ancora introdotto alcuna quantizzazione
dei campi, e l'argomento � del tutto classico. Abbiamo modi stazionari per
cui
omega(k) -> 0 quando k->0 ogni qual volta la soluzione di minima energia per
ampiezza fissata, ammette
un sottogruppo di invarianza del gruppo complessivo.Nel caso quantistico
la frequenza omega(k) risulta legata alla energia di eccitazione dei singoli
modi, ovvero l'ampiezza � quantizzata (senza che si debba imporre l'ampiezza
a mano) , questi modi di eccitazione collettiva a
costo virtualmente nullo, vanno allora sotto il nome di bosoni di Goldstone,
Altro esempio classico � quello di un gruppo O(N) su N campi
che si rompe ad un sottogruppo O(N-1), quindi con una simmetria
assiale, avremo tanti bosoni di Goldstone quante sono le direzioni
N-1 in cui pu� muoversi l'asse della soluzione di minimo, in termini
pratici avremo una funzione potenziale V(f1, ... fn) per i campi simmetrica
per rotazioni in R^n delle componenti f1,...fn, ma il minimo di questo
potenziale risulta per un valore di |f1|^2 + ... |fn|^2 fissato. La
variazione
di lunghezza viene a corrispondere ad una derivata seconda del potenziale
e quindi in presenza di un termine cinetico |grad f | ^2 si comporta come
una massa per le equazioni di Eulero associate che saranno equazioni
d'onda, tipo Klein Gordon. (ricordiamo che nel limite classico una equazione
se interpretiamo i campi come posizioni spaziali di un mezzo continuo,
l'equazione
di Klein Gordon non dice altro se non che oltre alla tensione relativa fra
le
parti abbiamo una forza di richiamo ad una posizione di riferimento,
con associata energia elastica di deformazione).
Se ho ben capito, la lagrangiana che descrive le
> particelle e interazioni note non manifesta simmetria di gauge, ma questa
�
> nascosta.
quello che si verifica � che nel modello elettrodebole la simmetria debole,
in relazione a quello che abbiamo appena osservato � duplicemente
sorprendente: in primo luogo perch� il modello standard delle interazioni
deboli fino agli anni settanta partiva dall'idea che la simmetria di isospin
fosse una buona simmetria approssimata per le interazioni deboli.
Dal momento per� che si osservano stati
non degeneri connessi da trasformazioni SU(2) si ha l'evidenza che
questa simmetria � una broken symmetry, non necessariamente
spontaneamente, magari per la presenza di termini aggiuntivi.
Se si fosse trattato di una simmetria spontaneamente rotta, per il teorema
generale di cui sopra ci si aspettava l'evidenza di bosoni di Goldstone,
di tipo massless. Ma la costante di Fermi e la natura a short range
dell'interazione
debole faceva invece propendere per bosoni massivi.
Dunque la simmetria elettrodebole non pu� essere
una simmetria globale spontaneamente rotta.
Questo problema, fu segnalato, se non vado
errato, da Elio Fabri sul finire degli anni sessanta, pu� essere risolto
dando
ascolto al geniale suggerimento di Anderson ed Higgs, il primo propose
il meccanismo che oggi porta il nome del secondo
nell'ambito della fisica dello stato solido,
dove si ha l'evidenza che i bosoni di Goldstone a due livelli, al primo
livello:
associati alla simmetria per traslazione che � quasi completamente rotta
a dare una simmetria discreta, dalla presenza
di un reticolo, il cui quoziente T/T_0 ammette uno spazio dei parametri
continuo che � parametrizzabile da un gruppo (fortunata circostanza, vedi
abelianit�,
vuole infatti che le traslazioni discrete sono un sotto gruppo normale
delle traslazioni) in termini di SO(2). Per k-> 0 abbiamo fononi di energia
nulla. Questi sono modi di Goldstone genuini e si osservano dalle relazioni
di dispersione per le vibrazioni di un cristallo. Ad un secondo livello, la
natura
quasi degenere di queste eccitazioni permette di trattare il reticolo
mediante una teoria di campo medio delle
oscillazioni del reticolo con parametro d'ordine la densit�,
Abbiamo che la simmetria continua che risulta
per il mezzo continuo pu� essere rotta da un termine di interazione
dinamico, legato alla non linearit� delle deformazioni elastiche di un
mezzo. Se � ammessa una teoria quantistica di campo medio per gli
elettroni, o per le posizioni atomiche,
Anderson proponeva di descrivere fenomenologicamente
l'insorgenza di eccitazioni collettive di questo tipo come la rottura della
simmetria conforme che si ha in many-body theory, e quindi eliminare
il termine di interazione non fisica scegliendo una delle gauge compatibili
con l'osservabile che � dato dalla densit�, notare che una
simmetria conforme in un senso pi� stretto di quello inteso qui
si ha anche nel limite elastico lineare e corrisponde alla
possibilit� di scegliere in modo relativamente arbitrario lo stato
tensionale di un materiale.
In un solido, in pratica, il valore della densit� in un punto dipende dallo
stato
tensionale del sistema, lo stato tensionale � misurabile, ma non
� osservabile in regime lineare ideale dalle propriet� vibrazionali.
Consideriamo prima di addentrarci nel meccanismo di Higgs
nel modo pi� semplice in cui un campo pu�
dare massa ad un altro per effetto di un termine di deformazione non
lineare, questo � illustrato dalla seguente lagrangiana:
L(u, grad(u), grad(n), n) = grad(n)^2 + (grad(u))^2 - g [u(x) ^ 2 - n(x) ]^2
in questo caso il parametro di non linearit�, g produce un duplice
effetto: fornisce massa ad n e ad u(x). Un esempio concreto da
visualizzare � quello di un potenziale di deformazione che dipende
oltre che dall'ampiezza della deformazione anche dalla densit� di
carica. I sistemi di fluidi a pi� componenti hanno spesso meccanismi
di creazione di massa per effetto di interazioni fra le onde di densit�
delle diverse componenti fluide.
Il meccanismo di Higgs � un poco pi� sofisticato
e presuppone per lo meno una simmetria conforme di
fondo. Il tipo pi� semplice di simmetria conforme � la simmetria di
gauge per campi massless (l'invarianza conforme di campi mass-less
corrisponde al fatto che la condizione ds^2 = 0 di appartenenza alla
shell luce � preservata da trasformazioni conformi)
L(grad(u), a^mu) = (grad(u)-a^mu)^2 + f^mu,nu f_mu,nu
f � qui il classico tensore dei campi, e la lagrangiana
corrisponde al caso classico di lagrangiana di Yang Mills
ad un singolo campo u.
Nel caso che a sia una soluzione libera , (in effetti
grad � il quadrigradiente e per soluzione libera si intende
soluzione delle equazioni d'onda massless nel vuoto, ma
nel limite in cui il primo campo � un campo veloce rispetto al
secondo possiamo trascurare la derivata rispetto al tempo
e ricondurci al limite di funzioni armoniche in senso proprio).
Un meccanismo di Higgs che coinvoga il campo
a � facilmente ottenuto modificando la derivata covariante:
(grad(u)-a^mu *u)^2
se questi campi descrivono insiemi di oscillatori � naturale pensare
ad una fase relativa, la cui determinazione rimane generalmente
arbitraria nel caso di Yang Mills, ma in questo caso scegliamo che
la fase possa variare fra le funzioni armoniche. Cio� abbiamo in
questo caso un vincolo aggiuntivo. Fra le funzioni armoniche esiste la
funzione f(r) = x.
Higgs parte allora da un'altra lagrangiana (di Higgs) gauge
> invariante, associata a un campo scalare complesso (e campo di gauge
> massless necessario per preservare l'invarianza rispetto a trf di fase
> locali / gauge), in cui lo stato di vuoto non � unico; la scelta dello
stato
> di vuoto su cui costruire la teoria perturbativa 'rompe' la simmetria
> iniziale. Per mettersi nello stato di vuoto fa una trasformazione di
> coordinate (che sono i campi) passando a coordinate che descrivono gli
> spostamenti (radiale e tangenziale) dal vuoto, associato al valore minimo
> della densit� di potenziale.
Questa scomposizione l'abbiamo gi� incontrata a proposito della
costruzione generale dei bosoni di Goldstone. In questo caso il
bosone di Goldstone sarebbe atteso in relazione a quello che
chiami spostamento tangenziale, in quanto corrisponderebbe
esattamente ad una "traslazione". C'� per� una differenza sostanziale:
dato che siamo partiti da una teoria di gauge viene a risultare che
questa fase non comporta campi osservabili. Ovvero la libert� di
modificare localmente la fase exp( i L(x)) del campo di Higgs,
insieme con i termini di gauge fotonico e debole associati con
i campi fermionici lascia libert� di ridefinire il campo di Higgs in modo
da ricondurre a zero la fase. Questo � quello che si fa nel caso di
Higgs.
> Dopo la trasformazione, questa nuova lagrangiana, quindi, non esibisce
> simmetria di gauge?
A questa domanda onestamente non mi riesce di rispondere
in modo immediato.
Direi che la trasformazione che ha nascosto il bosone di
Goldstone � un'autentica simmetria della lagrangiana iniziale,
dopo la trasformazione e lo sviluppo di Taylor rispetto alle
variazioni del campo risulta un termine che, come sai
conferisce massa al campo vettoriale che media l'interazione
debole, tuttavia nella lagrangiana conclusiva il bosone di
Goldstone � solo nascosto, ma pu� essere ripresentato
se si agisce con una ulteriore trasformazione di gauge.
Il punto � che tutta la costruzione gira intorno all'assunzione
che la simmetria di gauge � un'autentica simmetria del sistema
e che la fase locale dei campi sia una grandezza che pu� essere
ridefinita liberamente. Per campi quantistici, come sai, si presenta
la necessit� di rinormalizzare la teoria. La possibilit� di rinormalizzare
la teoria scegliendo liberamente le fasi � il punto delicato di tutta la
procedura. L'analogia che ho presentato prima fra il meccanismo di
Higgs per una teoria di campo medio nella descrizione di un continuo
� emblematica di una situazione ben nota in teoria dell'elasticit�, laddove
la libert� nella scelta della gauge corrisponde alla circostanza che gli
stati tensionali interni non sono osservabili dallo studio dei modi
elastici, ma lo stato tensionale sul bordo del sistema � invece ben
osservabile, quindi in un certo senso la teoria di campo medio �
gauge invariante, ma questo non significa che la gauge possa essere
scelta in maniera del tutto arbitraria. In effetti nella forma generale del
meccanismo di Higgs non c'� nulla di artificioso, si vorrebbe solo tenere
conto di una simmetria autentica del sistema. Nel caso del modello
elettrodebole, tuttavia qualcosa di artificioso in effetti risulta dal fatto
che
si parte da una distinzione, artificiosa, come dici, della componente
neutra rispetto alle componenti cariche e chirali del doppietto massless.
Tu tuttavia sembri riferirti ad una situazione modello.
> Andiamo avanti. In questa 'nuova' lagrangiana sono descritti un campo
> scalare massivo (associato a spostamento radiale), un campo scalare
massless
> (sp. stangenziale)
ma questo lo puoi porre zero, in virt� dell'invarianza di gauge.
e il campo di gauge di prima che ha acquistato massa (ssb
> miracle!) e quindi un grado di libert� (gdl). A seguito della
> trasformazione, dunque, i gdl passano da 4 (2 per il campo scalare
complesso
> + 2 per il campo di gauge massless) a 5 (2 per i due nuovi campi scalari
> reali + 3 per il campo di gauge massivo), e questo non � bello perch� una
> trasformazione di coordinate non dovrebbe alterare i gdl della teoria.
Ma questo succede se fissi arbitrariamente il vincolo e nascondi
l'inosservabile bosone di Goldstone, d'altra parte � in un certo
senso sbagliato contare in questo modo i gradi di libert�, ovvero
dire che i gradi di libert� del campo di gauge massless sono 2
� una bella locuzione che nasconde il fatto che nella teoria concreta
tu parti con ben 4 gradi di libert� per il potenziale vettore, ma questo
lo metti insieme con le derivate in una forma bilineare che contiene i
campi fermionici, il che � un vincolo fra i gradi di libert� relativi alla
fase ed i gradi di libert� relativi al campo di gauge, che nello schema
di una teoria di gauge sono interpretati come vincoli "non fisici" e questo
permette, alla fine di ridurre i gradi di libert� relativi al campo vettore.
Di fatto anche in questo caso compare un vincolo fra la fase del
campo di Higgs ed i potenziali vettori che puoi scegliere in modo
arbitrario avvalendoti della "non fisicit�" dei corrispondenti gradi
di libert� relativi al potenziale vettore ed alla fase del campo scalare
di Higgs.
Se
> non sbaglio si dimostra che il gdl extra � associato a un campo non
fisico,
> in quanto possiamo metterci in un gauge (unitarity-gauge) in cui questo �
> identicamente nullo e i gdl si riducono a 4.
Esatto. E' quello che fin qui ho tentato di spiegare.
Dunque, poich� la fisica non
> dipende dal gauge, questo campo non dovr� esistere fisicamente.
Direi che al livello a cui � stata sviluppata la teoria, se non andiamo
a scomodare le ipotesi KMS che soggiacciono l'invarianza di gauge
possiamo dire che l'esistenza matematica di questo campo non
comporta effetti a livello locale. Stando all'analogia con i sistemi
elastici questo corrisponde al fatto che l'esistenza, in quel caso
fisica, della gauge, non � osservabile per mezzo della propagazione
di onde sonore nel mezzo.
> Ma se possiamo metterci nell'u-gauge, allora anche questa lagrangiana deve
> essere gauge-invariante.. giusto? Allora dov'� la rottura di simmetria?
Nella parte radiale del campo che non pu� essere scelto arbitrariamente,
perch� ha un valor medio non nullo.
> Inoltre, nel u-gauge, il campo scalare di partenza appare reale, non
> complesso, quindi anche in partenza i gdl dovrebbero essere 3 e non 4....
> dove sbaglio?
A mio avviso nel presupporre che i gradi di libert� abbiano una realt�
ontologica a prescindere dalle equazioni e dalla loro interpretazione.
Ma non � colpa tua, la confusione � effettivamente presente nel modello
delle interazioni deboli. Perch� in quel caso si commetteva una forzatura
allo schema generale del meccanismo di Higgs in modelli Yang Mills,
si usavano, in un certo senso, due pesi e due misure per i generatori
del gruppo. Questo problema si risolve nel modello elettrodebole
grazie alla distinzione fra i modi chirali, chiamando in causa l'intero
gruppo
di simmetria SU_L(2) x U_L(1) x U_R(1) ed il cosiddetto angolo di Mixing
che da conto della violazione di parit�.
> Altra domanda: questo campo non fisico � quello associato al bosone di
> Goldstone?
Si, nel tuo caso, in generale per� i bosoni di Goldstone sono tanti quante
le simmetrie rotte e se la simmetria rotta � SU(2) ci sono due bosoni di
Goldsone, eliminabili, ed un campo di Higgs (per la parte radiale).
> Inoltre: nel u-gauge la teoria appare non rinormalizzabile, ma se ci
> mettiamo in un altro gauge (r-gauge?) osserviamo cancellazioni nel
> propagatore fotonico che permettono la rinormalizzabilit� della teoria,
> quindi, poich� esiste un gauge in cui vediamo la rinormalizzabilit�, e
> poich� la teoria � gauge-invariante, possiamo concludere che la teoria �
> rinormalizzabile.
Questo � un circuito delicato. La rinormalizzazione �
una procedura formale che contiene della fisica, ma
spesso si mette l'accento sul successo di Van'T Hoft
nella rinormalizzazione della teoria elettrodebole e nell'uso
delle identit� di Ward che la consentono. La rinormalizzazione,
comunque, non va dimenticato, fatta a mezzo delle identit� di
Ward sottintende delle ipotesi di termalizzazione che in
pratica si esprimono in fenomeni di carattere globale, �
proprio la possibilit� di includere i fotoni che dovrebbe indurre
in sospetto, dal momento che il contenuto di infraparticelle
per campi gap-less porta a predire la rottura della simmetria
di Lorentz , questa simmetria rimane tuttavia alla base
della procedura di rinormalizzazione standard della teoria dei campi
quantistici relativistici. Come spiega forse lo stesso Van't Hoft nelle sue
lezioni di teoria delle stringhe, questo � possibile e non crea serie
difficolt�
verosimilmente perch� la simmetria di Lorentz � una simmetria emergente
dalla
simmetria conforme di una teoria generalmente covariante, che �
pu� essere costruita da campi di natura genuinamente massless
prima che lo stato di vuoto, conferisca un valore medio alla parte radiale
dei bosoni di Higgs,
il fatto che la simmetria di Lorentz possa essere rotta non sorprende
a livello di teorie formulate in modo generalmente covariante dal momento
che sappiamo che la simmetria di Lorentz � una simmetria approssimata
ed universale nella misura in cui � universale il principio di equivalenza.
> Ma, ancora, la simmetria di gauge non era rotta?
Si ma non del tutto, nel senso che come detto e ribadito
la possibilit� di ridefinire arbitrariamente la parte "angolare"
del campo di Higgs corrisponde a ci� che si assume essere
una autentica simmetria del sistema valida ancora dopo la
rottura di simmetria che riguarda la parte radiale (che ha
un potenziale con un minimo il cui sviluppo intorno al minimo
comporta una massa).
> E poi non � molto bello dover usare un gauge per vedere le particelle e
> un'altro per vedere la rinormalizzabilit�.
In linea di principio non sarebbe necessario, come non �
necessario, in linea di principio, usare la gauge di Coulomb
per descrivere le interazioni statiche e la gauge di Loretnz per
ricavare i potenziali in forma relativisticamente invariante,
per� dal momento che a questo livello di indagine si
ritiene di avvalersi di queste simmetrie ci si avvale anche dei
vantaggi che questa libert� di scelta comporta.
> Inoltre, tutto questo meccanismo non vi sembra un po' troppo artificioso?
Indubbiamente pu� essere superato. Ma non � detto che
l'adozione di principi semplici risulti in un sistema pi�
semplice, l'artificiosit� apparente � probabilmente effetto
di principi generali e profondi che oggi sono appena
intravisti. D'altra parte anche
le equazioni di Maxwell al tempo della loro introduzione
costituivano un sistema dall'aspetto indubbiamente elegante
ma praticamente artificioso, con il senno di poi ci� era dovuto
al fatto che non si erano comprese appieno n� la simmetria
di Lorentz, n� l'invarianza di gauge. In un certo senso penso
che siano ancora questi i problemi di fondo.
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Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Thu Mar 29 2007 - 04:59:50 CEST