Re: galilei

From: Enrico SMARGIASSI <smargiassi_at_ts.infn.it>
Date: Mon, 26 Mar 2007 19:12:02 +0200

Franco wrote:

> COme mi capita spesso ultimamente sono di corsa, se non riesci ad
> integrare l'eq. dimmelo, che la risolvo.

Vi risparmiero' generosamente la fatica :-), visto che l'ho fatto un
paio d'anni fa per i casi di resistenza lineare e quadratica. Si puo'
calcolare facilmente che, nell'ipotesi che la resistenza sia
proporzionale alla velocita', la velocita' di un corpo di massa m che
cade e' data da

v = mg/kE [1-exp(-kEt/m)]

con E=viscosita' dell'aria= 1.8 10(-5) Ns/m^2 e k=costante geometrica
(per una sfera k=6*pi*R). Per tempi brevi, cioe' t<<m/kE, la differenza
  tra le velocita' di una sfera di massa m1 ed una di massa m2 e'
piccola ed e' circa kEgt^2(1/m1-1/m2)/2 (lo vedi sviluppando
l'esponenziale in serie e facendo la differenza). Per diametri di 10 cm
e pesi, diciamo, di 2 kg e 0.5 kg questo significa che la differenza di
velocita' e' piccola per tempi t<<10000 s. Per i tempi di caduta di cui
poteva aver esperienza Galileo, che sono dell'ordine di 3-4 s al
massimo, questa condizione e' abbondantemente soddisfatta, e la
differenza tra le velocita' e' di nemmeno 1 cm/s, su di una velocita' di
qualche decina di m/s.

Ora il caso di resistenza =kv^2. La velocita' e', per un corpo che parte
da fermo,

v=radice(mg/k) tanh(radice(kg/m)t)

e la distanza coperta

x=m/k log cosh(radice(kg/m)t).

Il coefficiente k puo' essere espresso come k=1/2 C rho A, dove A e' la
  sezione del corpo, rho la densita' dell'aria e C un coefficiente
(adimensionale) che dipende dalla forma, dalla turbolenza ecc. e che a
quel che vedo, in casi come quelli che stiamo considerando, vale tra 0.2
e 0.5.

Per una caduta di 50 metri - quella raggiungibile dalla Torre di Pisa -
la differenza nei tempi di arrivo e' al massimo di 2-3 decimi di
secondo, percepibile ma piuttosto piccola e comunque 1) meno del 10% del
tempo di caduta, 2) facilmente mascherabile da differenze nei tempi di
rilascio, che veniva effettuato, letteralmente, a mano. Per cadute di
20-30 metri la differenza e' di 2-3 centesimi di secondo, dubito che sia
avvertibile.

Non dimentichiamo infine che il significato dell'esperimento galileiano
sta piu' che altro nella confutazione della teoria aristotelica secondo
la quale la velocita' di caduta e' proporzionale al peso.

-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia
Received on Mon Mar 26 2007 - 19:12:02 CEST

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