Re: Giroscopio

From: Tetis <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Sun, 04 Mar 2007 15:05:42 GMT

Il 01 Mar 2007, 11:38, gnappa <lagiraffa77_at_yahoo.it> ha scritto:

> Tetis ha scritto:
> > L'unica obiezione che posso immaginare e' che uno
> > studente potrebbe chiedersi come agiscono fattivamente tutte
> > le forze, comprese quelle vincolari in modo da produrre questo
> > esito. In tal caso il discorso da fare puo' diventare piu' complicato
> > ed in un certo senso il rischio e' che lo studente possa pensare che
> > la corretta descrizione delle cause presupponga la conoscenza degli
> > effetti.
>
> Non so se ho capito. Tu dici che questa spiegazione possa dare
> l'impressione che sia costruita ad hoc perch� si sa gi� dove si sta
> andando a parare, mentre se si considerassero in dettaglio tutte le
> forze in gioco, comprese le reazioni, non si riuscirebbe a prevedere il
> comportamento del giroscopio prima di averlo osservato.

In verita' dicevo che il discorso da fare si complica e puo' darsi
che lo studente si perda, perche' facilmente un'argomentazione
che non sia stata preparata con attenzione e rigore logico rischia
di fare un'uso illecito di cio' che e' da dimostrare. D'altra parte
una spiegazione ab-initio e' resa relativamente facile nello schema di
D'Alembert che fu a suo tempo un'immensa semplificazione della
meccanica newtoniana, D'Alembert fu il barbiere di Ockham per
la meccanica newtoniana (al punto che secondo i moderni ha tagliato
pure qualche ciuffo di capelli insieme con la barba :-)_) ,
ma comprendere a fondo la sua impostazione
e quel che vale richiede certamente di aver patito un poco della
tenebrosita' newtoniana.

Tutto questo discorso non ho proprio idea
di come possa essere accompagnato fino al livello di astrazione di
uno studente liceale. Per tornare al discorso delle velocita' angolari,
ad esempio: come spiegare che la velocita' istantanea di rotazione
puo' ruotare se l'asse di rotazione e' anche il luogo dei punti fissi?
Ovviamente i punti fissi __non__ sono sempre gli stessi nel corso del
moto, ed un teorema piuttosto profondo garantisce l'esistenza
di una retta di punti fissi.

D'altro canto, fino ad un certo punto, l'intuizione puo'
aiutare: ricordo che ad un certo punto, disperato perche' non
riuscivo a capire come stessero le cose, avevo escogitato questa
immagine mentale: mi ero detto: cosa succederebbe se avessi
delle biglie che ruotano dentro una guida tubulare? Questa immagine
supportava l'intuizione sapevo infatti molto bene, proprio perche'
avevo letto un libro di testo che parlava con attenzione dei moti
accelerati,
uniformi e non, che quello che contava per sapere le forze con cui le
biglie agissero sulla guida era conoscere il cerchio osculatore della
traiettoria, ed immaginavo che dovesse esserci un modo per descrivere
autoconsistentemente il fatto che la biglia seguisse un moto circolare nel
riferimento della guida, con il fatto che la guida si muovesse sotto la
spinta
delle biglie e del momento della forza peso piu' la forza di reazione nel
punto
di appoggio (ma gia' se mi avessero chiesto se questa forza deve essere
costante avrei avuto difficolta' a mettere fuoco che __non necessariamente__
la
reazione vincolare doveva essere uguale alla forza peso per un sistema in
movimento), poi immaginavo anche che una sola biglia avrebbe
dato luogo ad un moto molto instabile tirando la guida lungo tutte le
direzioni
che il raggio osculatore prendesse tempo per tempo.

Quindi avevo
aggiunto una biglia in posizione diametralmente opposta. In questo modo
trovai
un poco di conforto: era finalmente chiaro in che modo il giroscopio potesse
recuperare e risalire. I problemi iniziarono quando volli cercare di trovare
qualche cosa di quantitativo ed inoltre un dubbio mi assillava ero infatti
consapevole
che il mio modellino non teneva alcun conto di un altro vincolo che le forze
elastiche
riuscivano a garantire: l'equidistanza fra le biglie. Sapevo che avrei
dovuto trovare una forza costante verso l'asse verticare, ma quest'aspetto
della
magia del giroscopio mi sfuggiva ancora. Con due biglie trovavo delle forze
che non agivano uniformemente e nemmeno si compensavano, anzi avrebbero
dato delle instabilita', piu' ci pensavo piu' mi andavo convincendo che
stavo
studiando un sistema differente dal giroscopio. Per andare alle vie di fatto
mi
risolvetti a manomettere il mio giroscopio aggiungendo due pezzi di
chewingum.
Fu un disastro: adesso, provando a metterlo in rotazione come al solito,
traballava
terribilmente e poiche' aveva una gabbia piuttosto elastica usci' d'asse,
dovetti rinunciare al mio esperimento :-), rimisi
a posto il mio giocattolo ma rimpiansi di non avere gli strumenti dei corsi
di
aggiustaggio, infatti una delle mie aspirazioni era
di costruire un giroscopio a motore da poter vedere girare per ore sulla
punta
di una penna, e pensavo che potendo calibrare i pesi aggiunti non si sarebbe
verificato quel problema. All'universita' mi fu chiaro che anche in quel
caso
l'esperimento sarebbe stato deludente: la trottola asimmetrica ha moti molto
piu' complicati ed intrattabili.

Esistono cioe' difficolta' dell'intuizione che hanno origine in strutture
logiche che solo gli adeguati strumenti matematici possono illustrare,
il problema didattico consiste nel trovare situazioni in cui insieme alle
domande sia possibile far seguire l'illustrazione di schemi matematici
con cui lo studente possa trovare una risposta e questo non e' sempre
possibile, nel caso della dinamica del corpo rigido.

Mi ricordo un'altra domanda che mi assillo' per qualche tempo fino
all'universita', dove venne sostituita poi da domande secondarie che
a loro volta hanno dovuto attendere: se l'asse di rotazione di un corpo
ruota
intorno ad un secondo asse, perche' non dovremmo sommare queste due
velocita'
di rotazione vettorialmente? Questo non puo' essere perche' allora
otterremmo
un altro asse di rotazione, ma perche' non ha significato in questo caso la
composizione vettoriale?

Su questo tema oscillavo periodicamente fra l'impressione di aver capito
ed il buio. La risposta era ovviamente che non si trattava della
composizione
di due moti, per quanto anche la composizione di due moti entrasse in gioco
nel
moto del giroscopio. Infatti si verifica questo: se consideriamo il moto di
precessione la velocita' di rotazione non e' parallela all'asse di simmetria
del giroscopio. Ma inoltre essa stessa ruota sia nel riferimento inerziale,
sia nel riferimento del corpo rigido. Avevo un'intuizione vaga di questo
discernimento, ma non gli strumenti per acquisire una percezione
quantitativa
della relazione fra il moto istantaneo ed il moto cumulativo, ne' il calcolo
differenziale ed integrale sarebbero stati sufficienti.

Quello che infatti mi aiutava nel caso delle traiettorie di un punto
materiale
era il fatto che nota la storia delle velocita' v(t) sapevo risostruire la
storia
delle posizioni, a meno delle costanti di integrazione, ma nel caso della
conoscenza degli atti di moto, ovvero delle velocita' angolari omega(t)
avevo difficolta' molto serie, in primo luogo sapevo che mi occorrevano
gli angoli di Eulero, ma anche se avevo una qualche abilita' con la
manipolazione
delle equazioni mi perdevo quando si trattava di un sistema accoppiato a tre
valori,
inoltre provavo un senso di ribellione rispetto a questa complicazione di
equazioni,
di cui non riuscivo a comprendere la genesi,
dato che mi sembrava che omega(t) fosse tutto sommato pur sempre una
velocita'
angolare come v(t) era una velocita' perche' allora non bastava sommare le
componenti di omega(t) per ottenere tre angoli che mi dicessero in che
configurazione
era il corpo? La risposta e' che l'algebra di Lie del gruppo delle rotazione
e' un'algebra
non commutativa e quindi il prodotto di due evoluzioni elementari, espresse
mediante
esponenziali di due velocita' per un tempo, non e' l'esponenziale della
somma
delle due velocita'.


Con l'universita' buona parte di questi quesiti trovaro le loro
consolazioni,
ma cominciarono le peste dei cambiamenti di coordinate. Descrizioni
duali hanno luogo che permettono di comprendere meglio ora un
aspetto ora un altro. Tuttavia esistono i riferimenti inerziali con la loro
particolare struttura e semplicita', e questa presunta dualita' ha degli
aspetti artificiosi, ma come distinguere l'artificio dalla struttura? Una
prima
risposta viene dalla distinzione fra forze e forze apparenti...

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Received on Sun Mar 04 2007 - 16:05:42 CET

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