Re: Einstein e Yang-Mills

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: 8 Jan 2007 05:59:14 -0800

argo wrote:
> Valter Moretti ha scritto:
>
> [...]
> > No, no, parlo della gravit� anche da sola: se la lagrangiana �
> > quadratica nelle curvature vengono fuori soluzioni "esplosive".
> > D'altra parte avrai visto che recentemente si cominciano a studiare
> > teorie con densit� di lagrangiana per la gravit� f(R). Pare che con
> > queste si possano spiegare le osservazioni cosmologiche attuali senza
> > dovere usare materia ed energia oscura...
>
> Una questione ancora: se modifico la lagrangiana della gravita', per
> esempio con una funzione f(R) di Ricci o anche qualcosa di piu
> complicato (contrazione di piu' Riemann...) chi mi garantisce che
> ottengo qualcosa che avra' derivata covariante nulla (come deve essere
> visto che avro' un tensore energia-impulso a secondo membro)? E gia'
> che ci sono, come si mostra in generale che il tensore energia-impulso
> ha derivata covariante nulla?


La dimostrazione della prima questione che sollevi � del tutto
generale.
Se hai un funzionale costruito come l'integrale rispetto al
quadrivolume invariante di un campo scalare (tecnicamente la densit�
di lagrangiana deve essere invariante per diffeomorfismi) costruito con
la metrica e sue derivate fino a qualche ordine ma ANCHE con altri
campi tensoriali o spinoriali, allora si prova che da derivata
funzionale rispetto alla metrica di tale funzionale (con un fattore
opportuno dipendente dalla metrica che sottointender�) � un campo
tensoriale doppio simmetrico che ha sempre divergenza nulla.
Nel caso in cui il funzionale contenga altri campi oltre la metrica, il
risultato detto vale solo nei punti di stazionariet� del funzionale
rispetto alle variabili che non sono la metrica, altrimenti tale
ulteriore ipotesi non � richiesta.

Puoi trovare la dimostrazione per es sul Wald appendice E a p. 456.
Se consideri il funzionale come l'integrale di una funzione di un campo
scalare ottenuto per contrazioni dal tensore metrico o prodotti di
varie copie del tensore metrico, la derivata funzionale di tale
integrale ripetto alla metrica deve avere divergenza nulla.

Applichiamo il teorema.

Se consideri il caso elementare in cui la funzione � lo scalare di
curvatura,
e quindi il funzionale � l'azione del campo gravitazionale (senza
parte dovuta lla materia),
la derivata funzionale risulta essere il tensore di Einstein R_{ij} -
(1/2) g_{ij}R ed hai che tale tensore deve avere divergenza nulla (in
questo caso il risultato vale anche in virt� delle identit� di
Bianchi).

Il risultato continua a valere se consideri l'azione per il campo
gravitazionale data dall'integrale di una funzione scalare di qualche
scalare ottenuto contraendo prodotti
di tensori di curvature...

Per quanto riguarda il tensore energia impulso esso � definito, in RG,
dalla derivata funzionale dell'azione del campo di materia considerato
rispetto alla metrica. Questa azione � per costruzione invariante
sotto diffeomorfismi. Di conseguenza ottieni che
il tensore energia impulso � conservato nei punti di stazionariet�
dell'azione, cio� sulle equazioni del moto per la materia nel campo
gravitazionale assegnato.

Nota che questo risultato � indipendente dall'azione che usi per la
gravit�, che pu� dunque essere una funzione scalare arbitraria delle
curvature come detto sopra: il tensore energia impulso si conserva
comunque sulle soluzioni del moto della materia a campo gravitazionale
assegnato.

Ti faccio notare una asimmetria che a volte sfugge. Se consideri il
sistema materia + gravit�, dove l'azione della pura gravit� � del
tipo generale integrale di f(curvature)
detta sopra, le equazioni di Eulero-Lagrange per la gravit� hanno la
struttura

tensore energia impulso della materia
                                  tensore contenente solo la metrica e sue derivate (1)


Come detto prima il tensore a secondo membro ha divergenza nulla.
Tuttavia questo fatto vale INDIPENDENTEMENTE dal fatto che le
equazioni di sopra siano soddisfatte.
La conservazione del tensore energia impulso invece richiede che le
equazioni del moto
(NON quelle di sopra, ma quelle che ottieneni stazionarizzando rispetto
ai campi di materia) siano soddisfatte.

Nel caso elementare questo fatto � ben noto: il tensore di Einstein ha
divergenza nulla sempre, NON solo sulle soluzioni delle equazioni del
moto per la gravit�. Invece il tensore energia impulso ha divergenza
nulla SOLO sulle soluzioni delle equazioni del moto per la materia.
Ci sarebbe da dire molto sulla fisica del fatto che il tensore a
secondo memebro in (1) deve soddisfare vincoli interni (divergenza
nulla) indipendentemente dalle equazioni stesse.
Tale fatto ha come risultato (almeno nel caso elementare dell'azione di
Einstein-Hilbert,ma credo che la cosa sia generale) che le equazioni
per la gravit� NON sono, da sole, in grado di determinare la metrica
quando sono assegnate le sorgenti (materia) della gravit� e ci�
riflette il fatto che parte della metrica e legata al sistema di
coordinate che noi scegliamo per descriverla...

   Ciao, Valter
Received on Mon Jan 08 2007 - 14:59:14 CET