Michele wrote:
> Il punto e' che tu stai considerando un semplice problema di
> Relativita' Speciale, dove la cosmologia non ha nessun ruolo.
> Abbiamo un'astronave che viaggia in uno spazio minkowskiano con
> condizioni al contorno periodiche. Cioe' lo spazio (e non il tempo) e'
> una scatola di grandezza finita L.
> Identifichiamo la coordinata x con la coordinata x + L (e trascuriamo
> le altre per semplicita', anche se si potrebbe ovviamente fare y = y +
> L, z = z +L)
> A questo punto puo' essere interessante studiare il "paradosso" dei
> gemelli in tale situazione.
> I risultati che ottieni sono in accordo con il concetto di invarianza
> di Lorentz?
Ciao, mi pare che hai descritto bene la situazione.
Vorrei fare notare che nel momento in cui metti delle identificazioni
per passare dall' spaziotempo di Minkowski ad uno a sezioni spaziali
compatte (per esempio l'universo "cilindrico" in 2D ottenuto
identificando x e x+L nel piano x,y dove y � il tempo e x lo spazio),
devi selezionare un riferimento. Le identificazioni le puoi fare solo
nelle "direzioni spaziali" per evitare curve causali chiuse, quindi
selezioni uno (o pi�) riferimenti.
Questa scelta di riferimento distrugge l'invarianza di Lorentz (pi� in
generale di Poincar�): non tutti i sistemi di riferimento in cui la
metrica appare come piatta sono fisicamente equivalenti (alcuni non
possono nemmeno pi� essere definiti (vedi sotto)).
Questo, a sua volta, distrugge il "paradosso" dei gemelli in questo
tipo di spaziotempo piatto ma con topologia diversa da quello di
Minkowski.
Prendiamo due gemelli in moto inerziale, cio� lungo geodetiche dello
spaziotempo, due moti distinti che partono dallo stesso evento O in
cui i gemelli hanno la stessa et�.
A causa delle identificazioni dette, essi possono incontrarsi pi�
(infinite) volte, al contrario di quanto accade nello spaziotempo di
Minkowski in cui si incontrano una volta sola all'inizio in O e
ciascuno dei due "giudica" successivamente l'altro pi� vecchio usando
ciascuno la propria nozione di tempo globale (in base alla procedura di
sincronizzazione einsteniana per orologi in quiete relativa ma
distanti).
Nello spaziotempo di Minkowski non si ha il "paradosso" dei gemelli
(ciascuno � pi� vecchio dell'altro), dato che i due gemelli non
possono pi� ncontrarsi, se lo potessero (almeno) uno dei due non
sarebbe in moto inerziale e contraddiremmo le ipotesi...
Nel caso in esame invece i gemelli , in moto inerziale, si incontrano
*davvero* pi� volte e allora possono materialmente verificare chi �
pi� vecchio di chi la seconda volta in cui si incontrano,
Data la (in generale) non equivalenza dei due gemelli in questo caso,
uno dei due sar� effettivamente pi� vecchio dell'altro.
La situazione � evidente nell'universo cilindrico di cui si � detto
sopra.
Il cilindro si ottiene per un riferimento Minkowskiano di corodinate x
e y, con y asse del tempo, identificando l'asse spaziale x dopo una
distanza L.
Un gemello in quiete con il riferimento detto ha linea di universo
rappresentata, per esempio, dall'asse y. La linea di universo
dell'altro gemello � una retta che esce dall'origine O, ma con una
piccola inclinazione rispetto all'asse y.
Dato che x e x+L sono identificati, stiamo lavorando su un cilindro e
tale seconda linea torner� ad intersecare l'asse y in E dopo un giro.
La lunghezza lorentziana delle linee � il tempo proprio cio� quello
misurato dagli orologi in quiete con ciascuno dei due gemelli. La linea
con lunghezza *lorentziana* maggiore � il segmento sull'asse delle y
che parte dall'origine e raggiunge E. (La lunghezza Lorentziana NON �
quella che si "vede" nel disegno in cui la situazione � ribaltata
perch� � riferita alla lunghezza rimanniana sul cilindro).
Si conclude che al secondo incontro nell'evento E il gemello che ha
seguito la linea "storta" sar� pi� giovane di quello la cui linea di
universo � data dall'asse y.
La asimmetria � evidente ed � fissata dal riferimento nel quale sono
state fatte le identificazioni x = x+L per costruire lo spaziotempo,
cio� il riferimento del gemello pi� vecchio alla fine.
C'� un'altra asimmetria tra i due gemelli. Il gemello che segue la
linea storta non pu� definire uno spazio di quiete globale
sull'universo cilindrico: in altre parole non riesce a sincronizzare i
suoi orologi nello spazio di quiete intorno a se stesso, lascio la
dimostrazione (evidente) a chi si intende un p� di relativit�.
Se ognuno dei due gemelli potesse definire il proprio sistema
riferimento esteso a tutto lo spaziotempo, ciascuno dei due gemelli
usando il proprio tempo definito globalmente giudicherebbe l'altro
gemello pi� vecchio ad ogni istante prima del secondo incontro in E.
Questo accadrebbe arbitrariamente vicino all'istante in cui essi si
incontrano in E in cui uno risulta essere pi� giovane e l'altro pi�
vecchio: si produrrebbe una discontinuit� che non ci si aspetta ed
infatti non esiste
Ciao, Valter
---------------------------------------------------------
Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Thu Dec 21 2006 - 17:06:32 CET