zelaph ha scritto:
> ho un piccolo problema con lo studio del moto di un proiettile in
> presenza di viscosit� (aria nel mio caso). Dovrei ricavare la
> traiettoria partendo dall'equazione differenziale seguente
> d2y/d2t=-g-Ldy/dt dove L � il coefficiente di viscosit�.
> Condizioni iniziali V(y)=VSen(angolo di lancio)
> y=0
> Il problema � questo: risolvendo l'equazione mi trovo il coefficente
> esponenziale aspettato ma non ho il termine quadratico del tempo come
> � presente nel caso di assenza d'attrito. Quindi non saprei dire se il
> moto � effettivamente quasi parabolico. Esiste una soluzione esatta
> partendo da questa equazione o si deve procederecon metodi
> approssimativi tipo quello di Eulero implicito?
Non so quale reale sistema fisico stai studieando, o se si tratta
solo di un esercizio un po' costruito ... in aria :)
Dico questo perche' faccio mio il commento di Franco: le leggi della
resistenza viscosa *non sono* applicabili al caso *reale* di un
proiettile, di un sasso, di una palla, o quello che ti pare.
Ma limitiamoci alproblema matemaico, dato che la tua domanda e' su
questo aspetto...
> N.B. non tocco le quazioni differenziali da quasi un decennio.
Eccoti una rinfrescatina :-)
Per cominciare, conviene porre z = dy/dt, cosi' l'eq. diventa di primo
ordine:
dz/dt + L*z = g.
(per inciso, L non si chiama "coeff. di viscosita'", ma ora importa
poco).
Si tratta di un'eq. ineare del primo ordine, a coeff, costanti, non
omogenea.
La tecnica standard per risolverla e' la seguente:
1) Trovare l'integrale generale dell'eq. omogenea associata:
dz/dt + L*z = 0.
Questo e' semplice:
z(t) = a * exp(-L*t).
2) Trovare un integrale particolare dell'eq. non omogenea.
E anche questo e' semplice:
z(t) = g/L.
3) Sommare i due:
z(t) = a * exp(-L*t) + g/L.
4) Determinare a dalla condizione iniziale z(0) = z0:
z0 = a + g/L ==> s = z0 - g/L.
z(t) = (z0 - g/L)*exp(-L*t) + g/L.
A questo punto devi solo integrare per trovare y(t):
y(t) = (z0 - g/L) * (1 - exp(-L/t)) / L + g*t/L. (*)
Tu dici che non ti viene il termine in t^2?
C'e', ma e' nascosto :-)
Prova a sviluppare la (*) in serie di potenze in t...
--
Elio Fabri
Received on Thu Dec 07 2006 - 21:19:02 CET