[it.scienza.fisica 06 dic 2006] zelaph ha scritto:
> ho un piccolo problema con lo studio del moto di un proiettile in
> presenza di viscosit� (aria nel mio caso). Dovrei ricavare la
> traiettoria partendo dall'equazione differenziale seguente
> d2y/d2t=-g-Ldy/dt dove L � il coefficiente di viscosit�.
Se non scrivi anche l'equazione del moto sull'asse x orizzontale mancano
le premesse per il calcolo della traiettoria!
Quello che proponi e' il problema fondamentale della balistica esterna.
La resistenza dell'aria R(v) e' una forza contraria alla velocita' e
crescente con v. Senza fare ulteriori ipotesi sulla forma esplicita
della funzione R(v) si puo' dimostare che la traiettoria del proiettile
si discosta progressivamente da quella parabolica nel vuoto fino a
presentare nel ramo discendente (y->-inf) un asintoto verticale.
Il calcolo esplicito della traiettoria e' elementare solo in casi
particolari; ad es. il caso R(v)=k*v^n (con n reale positivo) e' stato
ridotto alle quadrature gia' da D'Alambert.
> ..... Quindi non saprei dire se il moto � effettivamente quasi
> parabolico. Esiste una soluzione esatta partendo da questa equazione o
> si deve procederecon metodi approssimativi tipo quello di Eulero
> implicito?
Il tuo caso viscoso R(v)=L*v non e' affatto realistico come altri ti
hanno gia' fatto notare, ma e' facilmente risolubile poiche' iqc il
sistema differenziale che lo governa e' costituito da due equazioni
risolubili _separatamente_ e che inoltre si integrano banalmente.
Le leggi del moto x(t) ed y(t) cosi' ottenute sono analiticamente di
tipo esponenziale, ma differiscono dalle espressioni polinomiali
del moto parabolico nel vuoto per termini di ordine O(L), come puoi
verificare sviluppando in serie gli esponenziali.
Eliminando fra x(t) ed y(t) il parametro t si ottiene facilmente (ma
in forma implicita) l'equazione della traiettoria.
L'asintoto verticale del ramo y->-inf risulta essere:
x= v_o*cos(alpha)/L
con v_o velocita' iniziale ed alpha alzo del tiro.
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Elio Proietti
Valgioie (TO)
Received on Sat Dec 09 2006 - 12:26:18 CET