On 6 Nov, 23:46, mariop..._at_inwind.it (Mario Piva) wrote:
> > l'equazione y"=x^2y (y"= derivata seconda di y rispetto ad x...)
>Intendendo x ^ (2y)
Purtroppo non va intesa cosi'. Giovanni chiede chiarimenti su come si
risolve l'equazione dell'oscillatore armonico unidimensionale
quantistico, dunque vuole risolvere:
y'' - (x^2) y = 0
Tuttavia questa non e' l'equazione esatta. Il problema e' il seguente:
dobbiamo risolvere y'' - (x^2 - c)y = 0 (1)
con c costante. Questa equazione differenziale non ha punti singolari
al finito, perche' tutti i coefficienti sono costanti al finito.
L'unica singolarita' puo' essere all'infinito.
Dunque studiamo come si comporta la soluzione all'infinito, in cui il
termine costante diventa trascurabile.
Ecco allora che troviamo:
(2) y'' - (x^2)y = 0
Ora e' facile vedere che per x ---> +/- \inf
una funzione del tipo y = H(x) exp(+/- x^2/2)
risolve l'equazione (2) con H(x) funzione di x da determinare. Come si
fa a vederlo? Beh se sostituisci la soluzione proposta e fai due
derivate vedi che l'equazione e' soddisfatta nel limite x ----> +/-
\inf
Oppure provi a graficare la soluzione.
Naturalmente H(x) dovra' essere una funzione opportuna che soddsfi il
vincolo appena imposto.
Delle due soluzioni possibili (corrispondenti ai due segni diversi)
dobbiamo scegliere quella con segno negativo dell'esponente perche' una
funzione di probabilita' del tipo exp(x^2) non e' a quadrato sommabile,
dunque non ha corrispondente fisico.
Ecco che allora abbiamo la forma della soluzione:
y = H(x)exp( - (x^2) /2)
Per determinare H(x) sostituiamo la soluzione nell'equazione (1) e
troviamo un'equazione per H(x).
Possiamo cercare una soluzione con H(x) rappresentata da una serie di
potenze nell'intorno dell'origine e raggio di convergenza infinito. Si
vede pero' che in questo modo troviamo una H(x) che cresce piu'
velocemente di exp(-x^2) e non avremmo piu' una soluzione a quadrato
sommabile.
Allora *dobbiamo imporre che H(x) sia un polinomio* e troviamo cosi'
una nuova equazione per H(x). Ma ancora piu' importante: troviamo lo
spettro degli autovalori! E_n = hv( n + 1/2)
La nuova equazione per H(x) e' l'equazione di Hermite, di cui
conosciamo la soluzione: i polinomi di Hermite. Ecco quindi trovati gli
autostati dell'oscillatore. Il problema e' risolto completamente.
Spero di essere stato d'aiuto. Saluti.
Received on Tue Nov 07 2006 - 11:55:25 CET
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