Il 02 Nov 2006, 00:19, Giorgio Pastore <pastgio_at_units.it> ha scritto:
> Tetis wrote:
> ...
> >
> > Con tutto il rispetto per Gantmacher il cui libro ho apprezzato
> > in piu' parti, era proprio questo il genere di inconsenguenzialita' a
cui
> > mi riferivo. Da dove piove questa definizione? per quale motivo non
potrebbe
> > essere (Q_k dP_k -Kdt)= c(t) (q_k dp_k) - Hdt + df ?
>
> Mi sembra che Gantmacher non facesse piovere dal cielo la formula ma
> usasse il teorema di Lee Hwa Chung sulla unicit� degli invarianti
> integrali per dedurre che c deve essere una costante. Purtropo per�
> non ho il tempo in questo periodo per riprendere in mano l' approccio
> di Gantmacher e verificarne direttamente la validit�. La mia
> puntualizzazione era piuttosto nel senso che la definizione data
> inizialmente dall' OP di trasf. canoniche non era completamente
> campata per aria.
Chiarito il punto, fra l'altro dopo avere risposto ripensavo al
fatto che a suo tempo Gantmacher mi aveva convinto, in prima
battuta e reso dubbioso in fase di approfondimento. Adesso posso dire
con cognizione di causa che cosa mi tormentava allora. Gantmacher
usava un formalismo aperto alla dipendenza dal tempo ed a trasformazioni
canoniche generali e poi pero' concludeva con un argomento di
conservazione in cui, se non erro, si specializza un risultato che
in potenza e' piu' generale.
Anch'io purtroppo non ho il tempo di rivedere il dettaglio della questione,
ma ricordo di essere ammattito per un poco nel cercare di conciliare
questa storia del fattore di valenza costante con l'idea intuitiva che
ci dovesse essere una trasformazione che conservava la struttura
canonica di equazioni per sistemi lagrangiani con energia non conservata
e che tuttavia ammettesse come costante del moto una hamiltoniana
riscalata.
Andando fuori tema sull'onda dei ricordi ho ritrovato questi
pensieri sparsi. Ve li partecipo cercando, come al tempo,
una qualche sponda.
Ricordo anche che avevo lasciato da parte la questione perche'
trovavo un poco frustrante non riuscire a riportare questa intuizione nel
quadro lagrangiano, ed anche il fatto che il tipo di sistemi dissipativi che
potevo prendere in considerazione erano evidentemente una classe
molto limitata rispetto alle concrete situazioni pensabili. Usando le forze
generalizzate infatti si va fuori dal contesto Lagrangiano ed Hamiltoniano
e mi mancava un analogo delle trasformazioni canoniche per le equazioni
di Routh.
Grazie a Goldstein poi avevo scoperto che i potenziali generalizzati
ammettono una variante dissipativa, ma perche' diamine allora
sono cosi' limitativi? Non tanto da escludere lo studio di una biglia
in moto laminare in aria ma abbastanza da escludere il caso turbolento.
Cominciai a pensare che il problema fosse
nell'ordine di derivate contenute nella lagrangiana. Trovai conferma
a questa intuizione sfogliando il libro di Gelfand Fomin, ma mi
arenai sulla spinosa domanda: perche', allora, nelle equazioni di Newton
entrano solo le derivate seconde? Ma poi non e' mica vero, pensavo che
entrano solo derivate seconde, ovvero se consideriamo sistemi vincolati
con le derivate seconde possiamo trovare anche derivate di ordine superiore,
solo che le derivate di ordine superiore sono effetto dei vincoli, cercando
di
combinare equazioni nel tentativo di fare risaltare condizioni di
compatibilita'
particolarmente semplici che coinvolgessero derivate di ordine superiore
al secondo scoprii che era piu' facile andare in confusione
con equazioni non lineari.
Lasciai da parte la non linearita' che mi sconvolgeva sempre un
poco abituato e com'ero alla linearita' dell'elettromagnetismo.
E cominciai a interrogarmi sulla conservazione dell'energia e sul
significato della dissipazione di energia. Ad un certo
punto arrivo' la teoria dei campi, poi la formulazione lagrangiana
dell'elettromagnetismo, tutto sembrava andare a posto,
e poi il corso di teoria delle probabilita', gli integrali di Ito e
la formulazione di Feynman della dinamica lagrangiana.
A questo punto la protesta interiore era diventata: se la legge
di Gauss dei grandi numeri implica equazioni del secondo ordine
perche' la dinamica turbolenta puo' comportare anche dissipazioni
non lineari? Capivo con l'intuizione che c'era qualcosa che
andava come se andasse a caso e qualcosa che andava in modo
ordinato. Ma fino quando lessi il libro di Ruelle ed incontrai
il principio del min/max cominciai a pensare nuovamente che
casualita' e causalita' non sono questioni categorie del tutto
ovvie. Sul libro di Attle venni a conoscenza delle difficolta' di
ricondurre le equazioni di Navier Stokes ed altre forme non lineari
al formalismo lagrangiano, ma sono equazioni approssimate o
e' il caso lagrangiano che e' un limite di schemi non lagrangiani?
In normale trovai il libro di Prigogine con i suoi interrogativi
profondissimi.Cominciai ad acquisire la consapevolezza che
i sistemi dinamici sono una classe del tutto generale in cui il
caso Hamiltoniano puo' essere pensato come un caso particolare,
emergente da dove e come? D'altra parte alcuni sistemi Hamiltoniani
ammettono teorie efficaci che sono a loro volta Hamiltoniane o quasi
tali su certe scale piu' grandi.
Gianmarco.
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Received on Fri Nov 03 2006 - 01:46:20 CET