giovanna.velanti_at_yahoo.it ha scritto:
> 1. premesso che l'integrazione di un sistema di equazioni
> differenziali del primo ordine equivale alla ricerca delle curve
> integrali di un campo vettoriale
>
> 2. un tale sistema � hamiltoniano sse le sue componenenti sono le
> derivate parziali (trascuriamo, per semplicita', i segni -) di una
> funzione che �, appunto, l'hamiltoniana del sistema
Guarda che non puoi trascurare i segni meno "per semplicita'"...
> 3. nel caso di un sistema ad un grado di libert� l'hamiltoniana H H(q
> p) rappresenta geometricamente una superficie z = z(x y) ed una
> trasformazione
> Q = Q(q p) P = P(q p) � canonica sse trasforma il campo vettoriale in
> un altro anch'esso avente componenti uguali alle derivate parziali di
> una funzione
> Z = z(Q P)
Questo non e' vero.
Controesempio: prendi il campo di componenti (p,-q) ossia il sistema
hamiltoniano
dq/dt = p
dp/dt = -q.
L'hamiltoniana e' (q^2+p^2)/2.
Considera la trasf.
Q = 2q
P = 2p.
Avrai ancora
dQ/dt = P
dP/dt = -Q
con nuova hamiltoniana (Q^2+P^2)/2
ma la trasf. *non e' canonica*.
> [ 4. equivalentemente si potrebbe dire che una trasformazione �
> canonica sse muta un campo la cui forma differenziale pfaffiana
> elementare
> X(p q) dx + Y(p q) dy
> � un differenziale esatto in un altro in cui essa � ancora un
> differenziale esatto ]
Naturalmente anche questo non e' vero, e poi non e' neppure chiaro che
cosa intendi (segno meno a parte).
Chi sono p,q,x,y?
Devi pensare allo spazio delle fasi, che per un sistema a un solo
grado di liberta' e' una varieta' 2-dimensionale.
Su questa sono definite in partenza delle coordinate (q,p) e vuoi
passare a nuove coordinate (Q,P)
La trasf. e' canonica sse p dq - P dQ e' un differenziale esatto.
Nota che in questo caso ristretto, di trasf. che non implicano il
tempo, nella def. di trasf. canonica l'hamiltoniana non interviene.
E' poi facile dimostrare che H e' invariante, nel senso che le nuove
coordinate soddisfano eq. di Hamilton con una hamiltoniana che e' la
stessa della vecchia, nel senso di "invarianza in valore": uguale
valore di H in un dato punto dello spazio delle fasi.
> Ma a questo punto mi chiedo:
>
> 5. la funzione generatrice di una trasformazione canonica
> G = G(q Q) G = G(q P) G = G(p Q) G = G(p P)
> ammette anch'essa una semplice interpretazione geometrica in termi dei
> campi e delle superfici di cui abbiamo appena detto ??
No perche' - come ho appena detto - la trasf. canoinicna e' defnita in
modo indip. dall'hamiltoniana.
G e' definita da
dG = p dq - P dQ
oppure
dG = p dq + Q dp
ecc.
--
Elio Fabri
Received on Sat Oct 28 2006 - 20:43:02 CEST