Il 28 Ott 2006, 20:43, Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it> ha scritto:
> giovanna.velanti_at_yahoo.it ha scritto:
> > 3. nel caso di un sistema ad un grado di libert� l'hamiltoniana H H(q
> > p) rappresenta geometricamente una superficie z = z(x y) ed una
> > trasformazione
> > Q = Q(q p) P = P(q p) � canonica sse trasforma il campo vettoriale in
> > un altro anch'esso avente componenti uguali alle derivate parziali di
> > una funzione
> > Z = z(Q P)
> Questo non e' vero.
A tal proposito Arnold segnala che questo modo di definire le
trasformazioni canoniche � un errore molto comune nella letteratura
sulla meccanica, al punto che persino Landau, nel suo bellissimo libro,
incorre nel medesimo errore. Arnold propone l'esempio che proponi
tu per mostrare la differenza fra la definizione in termini di
invarianza della forma simplettica dp ^ dq e la definizione in
termini di equazioni di Hamilton. Tuttavia alcuni autori preferiscono
salvare capre e cavoli, ovvero Landau ed Arnold definendo canoniche
le trasformazioni che conservano il carattere Hamiltoniano di un
sistema e simplettiche le particolari trasfromazioni che conservano
la forma simplettica. In un grado di libert� ogni trasformazione lineare
invertibile
� una trasformazione canonica in tal senso, solo un sottogruppo
delle trasformazioni lineari � simplettico.
Se vogliamo capire qual'� l'origine di questa confusione le
equazioni di Hamilton vanno chiamate in causa nella forma
di Poisson:
q' = [H,q]
p' = [H,p]
dove con [A,B] si intende la parentesi di Poisson rispetto a q,p.
(nota di servizio: dire che (p,q) -> (P,Q) conserva dp ^ dq
significa che dP ^ dQ = dp ^ dq il che equivale a dire che
PdQ - pdq = df infatti da questo segue dP ^ dQ - dp ^dq = ddf =0
e viceversa se dP^dQ - dp^dq = 0 allora la primitiva: P^dQ -p^dq
� un differenziale esatto).
> No perche' - come ho appena detto - la trasf. canoinicna e' defnita in
> modo indip. dall'hamiltoniana.
> G e' definita da
>
> dG = p dq - P dQ
>
> oppure
>
> dG = p dq + Q dp
direi dG = p dq + Q dP in questo secondo
caso. Ovvero la funzione generatrice non
sar� mai una funzione di p e q. Non �
per nulla una funzione nello spazio delle
fasi perch� � un vincolo funzionale
fra coordinate diverse in uno stesso spazio
delle fasi, dove la struttura di spazio delle fasi
� data dalla forma : sum_i dq_i ^ dp_i.
Conoscere l'origine delle funzioni generatrici
a partire da questa forma differenziale conservata
aiuta a ricordare i segni delle forme differenziali.
Esempio: G = a q P
dG = aP dq + aq dP
ovvero aP = p
aq = Q
e quindi P = p/a & Q=a q .
C'� da dire anche che il fatto che l'Hamiltoniana non entra
esplicitamente nella definizione delle trasformate canoniche
pu� portare un poco in ombra la circostanza che all'origine
di tutto questo sta la riformulazione Hamiltoniana
delle equazioni di Lagrange.
> ecc.
>
>
> --
> Elio Fabri
>
--------------------------------
Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Mon Oct 30 2006 - 00:31:30 CET