Re: Esempi di equazioni differenziali

From: Tommaso Russo, Trieste <trusso_at_tin.it>
Date: Wed, 25 Apr 2012 02:08:20 +0200

Il 24/04/2012 11:14, Franco ha scritto:
> Sto cercando esempi di fenomeni fisici descritti da una semplice
> equazione differenziale possibilimente del tipo x'+x=0

Mi pare un po' limitativo: solo decadimenti esponenziali...

Credo che tu voglia evitare l'uso di derivate seconde piuttosto che
l'uso di funzioni di x diverse da x, giusto?

> da usare come
> esempi introduttivi per mostrare a che cosa servono le equazioni
> differenziali.
...
> Ma oltre questi esempi non mi viene in mente nulla. Qualche altra idea?

Hai pensato a esempi di dinamica delle popolazioni?

*Riproduzione di un escherichia coli* immesso in un mare infinito di brodo:

dN/dt = rN, con r, tasso di riproduzione, =1/30 minuti^-1, N(t=0)=1.

Molto istruttivo, perche' rende evidente che se il mare non e' infinito,
ma e' limitato p.es. ad un bicchiere, la crescita non puo' continuare
indefinitamente (in pochi giorni la massa dei batteri supererebbe quella
del brodo), ma deve incontrare qualche "limite dello sviluppo": quindi:

*modello logistico*:

dN/dt = rN - bN^2 = N (r - bN) = r (1 - N/K) N

dove b e' il coefficiente di competizione intraspecifica (per
appropriarsi delle proteine necessarie alla riproduzione), e K = r/b la
c.d. "capacita' portante".

La soluzione ovviamente e' la logistica:

N = c*K*exp(rt)/(c*exp(rt)+1)

con c=N(0)/(K-N(0))


*Se proprio vuoi strafare, equazioni di Volterra cacciatore/preda*:

     dN_p/dt = (A - B N_c) N_p

     dN_c/dt = (C N_p - D) N_c

dove (piu' o meno) A e' il tasso riproduttivo delle prede, B misura la
loro possibilita' di essere mangiate, C la possibilita' che un
cacciatore si sfami abbastanza da riprodursi, D il suo fabbisogno di
sussistenza.

Ovviamente l'unica integrazione possibile e' quella numerica: qualche
aiuto didattico:

http://www.office-guru.com/book/export/html/131
http://hhbio.wasser.tu-dresden.de/projects/lv/


Le equazioni di Volterra possono essere ampliate a piu' di 2 specie:

   dN_i/dt = [ A_ii + sum_j!=i (A_ij N_j) ] N_i

con A_ii tasso riproduttivo della specie i-esima, A_ij coefficente
d'interazione, ossia effetto della presenza della specie j-esima sulla
capacita' riproduttiva della i-esima. Gli A_ij possono essere tarati in
modo da descrivere le varie interazioni possibili fra le specie:
parassitismo, predazione), commensalita', simbiosi, concorrenza per le
stesse nicchie... L'integrazione numerica porta a evoluzioni del tutto
simili alle sequenze serali con cui le specie pioniere colonizzano un
nuovo territorio e aprono la via ad altre specie che poi magari le
sostituiscono, per terminare in una distribuzione stazionaria: il
climax. Avevo fatto delle simulazioni in merito, se ti interessano te le
mando.

Ciao


--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni
Received on Wed Apr 25 2012 - 02:08:20 CEST

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