Re: geodetiche e vettori di killing

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: 12 Aug 2006 17:01:14 -0700

Elio Fabri wrote:
[...]
> Ecco: occorre precisare questo discorso della "condizione iniziale".
> Si puo' fare cosi'.

Grazie per la risposta molto chiara che ha allontanato un po' di
foschia dalla mente.
Non tutta pero'...

> Scegli un'ipersuperficie S di tipo spazio.
> Su S definisci in modo arbitrario (ma regolare) un campo di vettori u
> di tipo tempo.
> Per ogni punto p di S, e col corrispondente u(p) come vttore tagnete,
> e' individuata una geodetica (di tipo tempo).
> Puoi usare queste geodetiche per estendere la definizione di u a tutto
> lo spazio tempo, o almeno a un intorno A di S.
>
> Se ora tau e' un reale positivo non troppo grande, s puo' definire in
> A (o meglio in un intorno A' contenuto in A) una mappa \mu come segue:
> \mu \manda p di A' in p' che sta sulla stessa goedetica, con tempo
> proprio aumentato di tau.
> Il problema e' che in generale \mu come l'ho definita *non e'*
> un'isometria.
> Il suo differenziale \mu_* applica Tp (spazio tangente in p) su Tp',
> ma non conserva i prodotti scalari.
> Infatti \mu non coincide in genere col trasporto parallelo.

In generale quindi u(p') =/= \mu_*(u(p)).
E mi stai dicendo anche che dati due vettori v,w in Tp, e i
corrispettivi v_*=\mu_*(v), w_*=\mu_*(w) in Tp', si ha che (non essendo
in generale v_* e w_* trasportati parallelamente)
g[p](v,w)=/=g[p'](v_*,w_*) ?
(dove g[p](v,w) e' il prodotto scalare tra v e w in Tp con metrica
g[p](,))

Pero', passando esplicitamente al'uso coordinate {x^a}, dovrei avere
che

(v_*)^a=v^c(d/dx^c)\mu^a
(w_*)^a=w^c(d/dx^c)\mu^a
(spero si capisca la notazione)

da cui

g[p'](v_*,w_*) =g_{ab}[\mu(p)] (v^c(d/dx^c)\mu^a) (w^f(d/dx^f)\mu^a)=
=\mu^*(g[p'])(v,w).

dove l'ultima eguaglianza viene dalla legge di trasformazione della
metrica g[p'] sotto il pullback \mu^*.
Quindi il prodotto scalare non si conserva (cioe'
g[p](v,w)=/=g[p'](v_*w_*)) se g[p]=/=mu^*(g[p']) ovvero se la metrica
non e' invariante sotto il pullback.
Viceversa se lo e', quindi se \mu e' un'isometria, si conservano
appunto i prodotti scalari come nel trasporto parallelo.
La domanda allora e' la seguente: il pushforward \mu_* associato a
un'isometria \mu (costruita da un campo vettoriale u(p) su S
trasportato parallelamente) da Tp a Tp' e' il trasporto parallelo da p
a p'=\mu(p)?
Ovvero il trasporto parallelo e \mu_* non sono in generale la stessa
cosa, ma se invece \mu e' anche un'isometria quale relazione hanno
visto che entrambi conservano il prodotto scalare?

> Lo puoi verificare con un controesempio, che si puo' prednere
> semplicissimo: basta uno spazio(x,t) di Minkowski (piatto).
> Come S prendi l'asse x, il camo u sceglilo in modo semplice, puirche'
> non consista di tutti vettori paralleli.
> Ora guarda come e' fatta S_tau, immagine di S mediante \mu: vedrai che
> non e' affatto una retta parallela all'asse x, ma una curva; e questo
> basta per capire che i prodotti scalari non si conservano.

Purtroppo non mi risulta cosi' semplice, potresti illustrarmelo meglio?
Ti seguo finche' dici che S_tau e' una curva, pero' da qui a dire che i
prodotti scalari non si conservano? Dalla discussione fatta sopra
anch'io concordo che il prodotto scalare non si conservera' pero'
graficamente non lo vedo.

Grazie in anticipo.
Saluti.
Received on Sun Aug 13 2006 - 02:01:14 CEST