"Sere" ha scritto:
>> da rot Z = 0 segue che esiste una funzione scalare del punto phi tale che
>> Z = grad phi,
>
> perch�, potresti dimostrarlo?
E' una storia lunga ;-), se ti accontenti di una traccia di dimostrazione
eccola qua:
preciso che il teorema vale nell'ipotesi che il dominio D su
cui e' definito il campo Z sia un aperto (in questo caso di |R^3 o
piu' in generale di |R^n) semplicemente connesso, grossolanamente
diciamo privo di "buchi" cilindrici, e che il campo Z sia di classe C^1
su D.
La condizione rot Z = 0 equivale in |R^3 alla condizione
_at_Z_i / @Z_j = @Z_j / @Z_i, (@ = simbolo di derivata
parziale) per ogni i, j = 1, 2, 3, da questa condizione si puo'
dimostrare che segue il fatto che date due curve chiuse C1 e C2
di classe C^1 a tratti omotope come curve chiuse aventi sostegno
in D, l'integrale di linea di Z calcolato su C1 e' uguale a quello
calcolato su C2.
Ma se il dominio D e' semplicemente connesso, allora ogni curva
chiusa C avente sostegno in D e' contrattile, cioe' e' omotopa come curva
chiusa ad una curva costante (avente come sostegno un punto di D),
quindi l'integrale di linea di Z calcolato su qualsiasi curva chiusa C
di classe C^1 a tratti avente sostegno in D e' nullo, e cio' e' sufficiente
a dimostrare che il campo Z e' conservativo in D, cioe' esiste una funzione
potenziale phi il cui dominio e' D tale che Z = grad phi.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Sat Aug 05 2006 - 11:53:18 CEST