Il 25 Giu 2006, 15:45, "Valter Moretti" <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
>
> argo wrote:
Cominciamo con il caso classico.
le equazioni di Hamilton per l'oscillatore armonico sono
p' = - k q
q' = p/m
se aggiungiamo alla funzione di Hamilton un termine
H(q,p,t)=p2/(2m)+(1/2w2)q2+eE(t)q
anche le equazioni di Hamilton cambiano. In particolare
per� la relazione fra impulso e derivata di q non cambia.
Le nuove equazioni di Hamilton diventano queste:
p' = - k q-eE(t)
q' = p/m
un modo di definire una trasformazione canonica � di
dire che non altera le equazioni di Hamilton. Ma in
vero questa � una definizione restrittiva nella meccanica
classica. Questa definizione restrittiva basta per escludere
l'argomento di argo. intatti la nuova variabile canonica che
lui introduce non pu� avere la stessa relazione con la nuova
variabile impulso. Fino a quando non si vuole considerare
una nuova variabile tempo la definizione restrittiva di
trasformazione canonica � quella che basta.
D'altra parte per risolvere il problema il formalismo
hamiltoniano � del tutto irrilevante. Bastano le equazioni
di Newton. Un modo standard usato dai fisici � ricorrere alla linearit�
delle
equazioni ed aggiungere ad una soluzione generale per l'equazione
omogenea la soluzione per l'equazione non omogenea, che
� ottenuta da f(\omega) / ( 1 - \omega^2). Dove f � la trasformata
di Fourier della forza. Alla fine risulta che una forza decrescente
esponenzialmente ha trasferito una quantit� di energia al modo
di oscillazione lungo la direzione della forza. La controparte per
questo metodo � il metodo di Green usato da Merzbacher.
Un'altro modo � risolvere direttamente l'equazione differenziale
con il classico metodo della variazione delle costanti. Questo
conduce ad una equazione differenziale del primo ordine sulle
costanti di integrazione che si risolve per integrazione diretta.
La costante risulta modificata da Integrale(f(t) cos(omega t)).
Seguendo Dirac il ruolo delle costanti di integrazione � svolto
dagli operatori di salita e discesa. E le equazioni di Heisenberg
si risolvono mutatis mutandis considerando la rappresentazione
di interazione degli elementi di matrice. Questo corrisponde al
metodo di soluzione diretta delle equazioni di Heisenberg considerato
ancora da Merzbacher e sviluppato pi� approfonditamente da Kim e Lee
che lo hanno connesso al formalismo canonico. Mi sembra che manchi
per completare lo spirito di modernit� una quantizzazione generale
della soluzione classica ottenuta per deformazione. Qui le omologie
sono semplici la struttura � genuinamente poissoniana e non
c'� una energia conservata, quindi
Chi la vuole sviluppare?
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Received on Wed Jun 28 2006 - 18:09:56 CEST